2020届二轮复习判断点在圆内外，向量应用最厉害学案（全国通用）
展开【题型综述】
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上．③方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.
【典例指引】
类型一 向量法判定点与圆的位置关系
例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，
判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
解得，
所以椭圆E的方程为．
(Ⅱ)设点AB中点为．
由&
所以从而.
所以.
,
故
所以，故G在以AB为直径的圆外．
所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外．&
类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014全国大纲21）已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
（I）求C的方程；
（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.
类型三 动圆过定点问题
例3(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆的方程。
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：
在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
（法2）由得，
∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，&
即，化简得 ①
此时==，==，∴(,),
由得(4，).&
假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,
设(,0)，则=0对满足①式的，恒成立.
∵=(－,),=(4－，)，
∴=0，整理得， ②
∴，解得=1，
∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.
∵=(－1,),=(3，)，
∴==0，&
∴恒有， ∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.
类型四 证明四点共圆
例4. 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【扩展链接】
1.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.
2.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
3.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
①.
②.
③.
④.；
⑤.；
⑥.；
