2020届二轮复习复杂数列的求和问题学案（全国通用）

专题02   复杂数列的求和问题

一．方法综述

      数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.

二．解题策略

类型一  数列求和中的新定义问题

【例1】【2018届广东省中山市第一中高三月考】定义为个正数， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （    ）

A.     B.     C.     D.

所以，

故选C．*

【答案】C

【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

2.解决此类问题的一些技巧：

（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路

（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.

（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.

【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中第三次月考】已知数列的前项和为，定义为数列前项的叠加和，若2016项数列的叠加和为2017，则2017项数列的叠加和为(   )

A. 2017    B. 2018    C.     D.

故选A．

【答案】A

类型二  子数列中的求和问题

【例2】【河南省南阳市2018届高三上期期中质量评估】已知有穷数列中， ，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（     ）

A.     B.     C.     D. 与的大小关系不确定

【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选A. *

【答案】A

【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.

【举一反三】【安徽省淮南市第二中、宿城第一中2018届高三第四次考试】已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）

A.     B.     C.     D.

∴=S1+S2+S3+…+Sn=+则 的最小正整数为13

故选B*

【答案】B

类型三  奇偶性在数列求和中的应用

【例3】【江苏省淮安中2018届高三数月考】已知函数，且，则 __________．

【解析】为偶数时， ； 为奇数时， ；

【答案】-100

【指点迷津】数列求和中遇到，，都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如 ）及符号型（如 ）

【举一反三】【黑龙江省大庆实验中2018届高三上期期中考试】设数列的前项和为,已知,,则______

【答案】240

类型四  周期性在数列求和中的应用

【例4】【2018陕西西安长安区五中二模】数列满足，则数列的前100项和为__________．

【答案】5100

【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有 ，于是考虑到三角函数的周期性，构造，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.

【举一反三】已知数列满足则该数列的前项的和为__________．

【解析】为奇数时， ；

为偶数时， ；

所以为奇数时有； 为偶数时;

即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. *

所以

.

【答案】

类型五  数列求和的综合问题

【例5】【2017届陕西省西安市铁一中高三上期第五次模拟】数列满足，则的整数部分是__________．

【答案】2

【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为，再借助数列的单调性是解答的关键.

【举一反三】【2017福建外国语校高三月考】已知数列满足（），若，（，），且对于任意正整数均成立，则数列的前2015项和的值为           ．（用具体的数字表示）

【答案】