2020届二轮复习数列中的整数问题学案（全国通用）
展开第56炼 数列中的整数问题
一、基础知识：
1、整数的基本性质：
（1）整数的和，差，积仍为整数
（2）整数的奇偶性：若，则称为奇数；若，则称为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：
① 奇数奇数偶数 ② 奇数偶数奇数
③ 偶数偶数偶数 ④ 奇数偶数偶数
⑤ 偶数偶数偶数 ⑥ 奇数奇数奇数
（3）若，且，则
（4）已知，若，且，则只能取到有限多个整数（也有可能无解）
（5）若，称能被整除，则有：
①
② 为的一个因数
（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数
2、整数性质的应用：
（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若，则的取值只能是。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：
① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量
② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值
（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：
① 所解得变量非整数，或不符合已知范围
② 等式两侧为一奇一偶
3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前项和的项数，均为正整数。
二、典型例题：
例1：已知数列的通项公式为，若为数列中的项，则____
思路：，中的项为大于等于（）的奇数，所以考虑将向奇数形式变形：
，可得应该为大于等于4的偶数，所以或，解得（舍）或
答案：
小炼有话说：（1）本题的亮点在于对的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在上。
（2）本题对的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到应为奇数，而，而的奇因数只有和，同样可确定的值。
例2：已知等差数列 的公差，设的前项和为
（1）求的通项公式
（2）求的值，使得
例3：已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式
（2）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
解：（1）
①
符合①
（2）思路：按照奇偶分段，所以要确定的奇偶。观察可发现无论为何值，均为一奇一偶，所以只需要对的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的即可
解：
当为奇数时，为偶数
解得：
当为偶数时，为奇数
解得：（舍）
综上所述：
例4：已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列
（1）求数列的通项公式
（2）求出所有的正整数，使得
解：（1）设前6项的公差为，则
成等比数列，
解得：
时，
，则 时，
（2）思路：由于数列分为两部分，当时，即为公比是的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的。
解：由（1）可得：
则当时，
当时，
当时，
当时，
当时，假设存在，使得
则有即：
，从而无解
时，不存在这样的，使得
综上所述：或
例5：已知数列的前项和为，且满足，（）.
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
解：（1）在中，令，得：
再令，得：
（2）由 ①，可得：②
①②可得：
从第二项开始成等比关系，公比为
而符合上式
（3）思路：所成立的等式为，考虑将进行分离得到：，再利用为整数可得为整数，从而求出符合条件的，再求出。
解：由（2）得：
且 只需，即
经计算可得：时，
解得：
共有三组符合题意：
小炼有话说：
（1）在第（2）问中，要注意的取值范围变化，并且要把所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。
（2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解
例6：已知数列是各项均不为0的等差数列，是其前项和，且满足，令，数列的前项和为
（1）求数列的通项公式及
（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）
且
（2）思路：先假定存在满足条件的，则由可得，无法直接得到不等关系，考虑变形等式：，分离参数可得：，以为突破口可解出的范围，从而确定的值后即可求出
解：假设存在，则
即
即
解得：
，代入可得：，解得：
存在，使得成等比数列
例7：已知各项均为正数的数列满足：，且
（1）设，求数列的通项公式
（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数
解：（1）
是公比为2的等比数列
（2）思路：由（1）可得，的通项公式可求但是比较复杂，不利于求出，但观察发现可将中的项重新组合，进而能够和找到联系。，求和可得，若为整数，则能被整除，而，考虑可将写成，通过二项式定理展开并找到最小的正整数
解：
若为整数，因为
即
能被整除
所以可得时，能被整除
的最小值是
例8：已知为等差数列，前项和为，若
（1）求
（2）对，将中落入区间内项的个数记为
① 求
② 记，的前项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
解：（1）设的公差为
解得：
（2）①
② 思路：由①可得：，，则所解方程变形为：，得到关于的不定方程，可考虑对进行变量分离，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到，即，然后代入解出符合条件的即可
解：由①可得：
由可得：
时，解得：（舍）
时，解得：（舍）
时，解得：
存在这样的，满足所给方程
小炼有话说：
1、本题中②的方程，并没有在一开始就将代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算
2、本题在解的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。
例9：已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有： ，若，则：
（1）求数列的通项公式
（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由
解：（1） ①
②
①②可得：
令，则
令，则
令，则
所以有：，解得：
（2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他项可设为，设存在某项，则，设，则同除以，就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立
解：假设存在某项及数列中的其他项
，所以
两边同时除以可得：
，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立
所以不存在这样的项
小炼有话说：（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：，如果不一定相邻，则可用作角标，其中体现出这一串项所成数列中项的序数，而表示该项在原数列中的序数
（2）本题还有一个矛盾点：题目中的项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全，变为从 一直加到 ，即。则①，由整数性质可得，所以，与①矛盾，所以不存在。
例10：已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中均为大于1的正整数，且，对于任意的，均存在，使得成立，则____________
思路：本题的关键是求出，已知均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求的值或范围：，所以，从而根据不等号方向可得： 解得：，所以，从而，代入可得：，因为，所以（舍）或。所以成立，所以，
答案：
三、历年好题精选
1、（2014，山东师大附中五模）用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数（），使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为
（1）写出，并写出与的递推关系（不要求证明）
（2）令，证明：是等比数列，并求出的通项公式
（3）数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由
2、（2016，泰州一模）已知数列满足，其中是数列的前项和．
（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积
3、已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列前项和为，且满足
（1）求数列的通项公式
（2）若，求正整数的值
（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由
4、（2016，无锡辅仁高中12月月测）
已知数列满足
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，试用表示；若不存在，请说明理由
习题答案：
1、解析：（1）
猜想
（2）
是等比数列，
（3）由（2）可得：
若为等差数列
则
不妨设为最小的数，则，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立
不存在符合要求的
2、解析：（1）因为
（2）若，则
两式相减可得：时，
为等差数列
可得：，因为
（3）由（2）得 ，
对于给定的，若存在，使得，
只需，
即，即，则， …………12分
取，则，
∴对数列中的任意一项，都存在和使得
3、解析：（1）设的公差为，设的公比为
由
（2）若，则，即
解得：，即
若，即
因为为正整数
为正整数
代入可知不符，故舍去
综上所述：
（3）若为中的一项，则为正整数
故若为中的某一项只能为
① 若无解
② 若，即，可知是方程的根
当时，设
在单调递增
在单调递增
时，无解，即是方程唯一解
③ 若，则
综上所述：或
4、解析：（1）
，即
是公差为的等差数列
即
（2）由（1）及可得：
当时，
成等差数列 即
不成立
当时，成等差数列，同理可得：
设，此时
，符合题意
综上所述：时，不存在满足条件的
时，存在，
