2020届二轮复习数列的概念学案（全国通用）

数列的概念

【考纲要求】

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.

2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
3.掌握常见的求数列通项的一般方法；

4.利用函数的观点去认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系；

5.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一：数列的概念

数列的概念382418 知识要点】

按照一定顺序排列着的一列数称为数列.

数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项。

要点诠释：

⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

考点二：数列的表示

(1)列举法：如-2，-5，-8，…

 (2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。

(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式an=f(n)，n∈N*。

 (4)递推：利用数列的第n项与它前面若干项的关系及初始值确定。如an=an-1+an-2(n≥3)，且a1=1，a2=1.

要点诠释：

①并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。

②数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。

③利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。

考点三：数列的分类

（1）按项数：有限数列和无限数列

（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列(递增数列、递减数列)

考点四：数列的通项公式与前项和公式

如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

任意数列的前n项和，于是，

所以有：

要点诠释：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求；

（2）求出当n≥2时的；

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。

【典型例题】

类型一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式

数列的概念382418

例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:

(1) 0, ,,,…；

(2) 1, ,,,…；

(3) 9, 99,999, 9999,…；

(4) 6, 1, 6,1,….

【解析】（1）将数列改写为，，，，…，

故.

（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；

其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，

故.

（3）将数列改写为, , , ，…，

故.

（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，

故或

【总结升华】写通项时注意以下常用思路：

①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；

②注意(－1)n或(-1)n+1〔或(-1)n-1〕在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现；

③归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化，在此处经常用到由特殊到一般的不完全归纳法，此时要联想到一些已经学习过的基本数列，如：，，，，，等。

举一反三：

【变式】求下列数列的一个通项公式:

(1)1,-1,1,-1,…；

(2)3,5,9,17,33,…；

(3),2,,8,,…；

(4)1,0,-,0,,0,-,0,….

【答案】

(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.

(2)an=2n+1.

(3)an=.

(4)an=.

类型二：数列的递推关系式

例2.(2017  全国Ⅲ高考) 已知各项都为正数的数列满足，.

（I）求；

（II）求的通项公式.

【解析】（Ⅰ）由题意得，又，解得.

又，解得.

 (Ⅱ)由得

因为的各项都为正数，所以.

故是首项为1，公比为的等比数列，因此.

【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.

举一反三：

【变式1】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：

（1）；

（2）对一切n∈N﹡，an＞0且

【答案】（1）a1=a,a2=,a3=,a4=，

猜想得an=；

（2）令n=1得2＝a1+1得a1=1；

令n=2得2＝a2+1得a2=3；

令n=3得2＝a3+1得a3=5；

令n=4得2＝a4＋1得a4=7，

猜想得an=2n–1。

【变式2】(2018 衡水四模)已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an= B．an= C．an=n+2 D．an=（n+2）3n

【答案】B

【解析】因为，且n∈N*）⇔，

即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，

所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故选B

【变式3】数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5等于（   ）

A.   B.   C.   D.

【答案】A

【解析】令n=2、3、4、5，分别求出a3=，a5=，∴a3+a5=.

【变式4】若数列{an}满足，若，则的值为（）

A．          B．          C．           D．

【答案】选B；

【解析】逐步计算，可得,

这说明数列{an}是周期数列，

而,所以。

类型三：由数列的前n项和求数列的通项公式

例3．数列{an}的前n项和Sn=n2-n+1,求{an}的通项公式.

【解析】∵Sn=n2-n+1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-［(n-1)2-(n-1)+1］=2n-2.

当n=1时,a1=S1=1,不适合上式.

∴an=

【总结升华】1.已知{an}的前n项和Sn,求an时应注意以下三点:

(1)应重视分类讨论的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.

(2)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1也适合“an式”，则需统一“合写”.

(3)由Sn-Sn-1=an推得的an,当n=1时,a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，

即an=

2.利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容,应注意Sn与an间关系的灵活运用,同时要注意a1并不一定能统一到an中去.

举一反三：

【变式1】已知数列的前项和，求通项.

【解析】当时，，

当时，，

∴.

【变式2】已知数列的前项积，求通项

【解析】当时，，

当时，，

∴.

数列的概念382418 思考题二】

【变式3】数列的前n项和，， ，求及

【解析】由，得，所以，

即是首项为，公比为的等比数列，

所以

所以

所以，

类型四：数列的单调性

例4.已知数列,,判断数列的单调性，并给以证明.

【解析】方法一：，

∴为递增数列，下面给以证明:

∵

∴数列是递增数列.

方法二：由题意设（），

则

∵，∴

∴（）单调递增，

∴数列是递增数列.

【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.

举一反三：

【变式1】数列中：,（）

（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；

（2）判断它的单调性.

【解析】（1）,,, , ,

∴；

（2）方法一：∵，∴ 数列是递减数列.

方法二：∵函数在上单调递减，∴ 数列是递减数列.

【变式2】数列中：（，且为常数），判断数列的单调性.

【解析】∵，

当时， ∴数列是递减数列；

当时， ∴数列是递增数列.

例5.已知数列的通项(n∈N﹡)，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.

【解析】∵an+1–an=(n+2)()n+1–(n+1)()n=

∴当n＜9时，an+1-an＞0即an+1　＞an　；

当n=9时an+1－an＝0，即an+1＝an；

当n＞9时，an+1-an＜0即an+1＜an　

故a1＜a2＜……＜a9=a10＞a11＞a12＞……，　　

∴数列｛an｝中最大项为a9或a10，其值为10·（）9，其项数为9或10。

【变式】已知Sn=1++…+,(n∈N*)，设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式:f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.

【解析】∵Sn=1++…+(n∈N*)

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是关于n的增函数

∴对于一切大于1的自然数n，f(n)min=f(2)=

∴要使一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立

只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可

由得m＞1且m≠2

此时设［logm(m－1)］2=t，则t＞0，

于是有，解得0＜t＜1

由此得0＜［logm(m－1)］2＜1

∴－1＜logm(m－1)＜1且logm(m－1)≠0

解得m＞且m≠2。