2020届二轮复习事件的相互独立性学案（全国通用）

事件的相互独立性
学习目标　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.

知识点一　相互独立的概念
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”.
思考1　事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
答案　不影响.
思考2　P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
答案　P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3　P(B|A)与P(B)相等吗？
答案　∵P(B|A)＝＝，∴P(B|A)＝P(B).
思考4　P(AB)与P(A)P(B)相等吗？
答案　∵P(B|A)＝P(B)，
∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B).
条件
A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)
结论
称事件A与事件B相互独立

知识点二　相互独立的性质
条件
A与B是相互独立事件
结论
也相互独立


类型一　事件独立性的判断
例1　判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件.
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立.
反思与感悟　三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.
跟踪训练1　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩.
(2)家庭中有三个小孩.
解　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
类型二　求相互独立事件的概率
例2　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P( )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
反思与感悟　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .
它们之间的概率关系如下表所示：

A，B互斥
A，B相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P( )
1－[P(A)＋P(B)]
P()P()
P(A ＋B)
P(A)＋P(B)
P(A)P()＋P()P(B)
P(·＋A·＋·B)
1
1－P(A)·P(B)

跟踪训练2　甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多一人译出密码的概率；
(5)至少一人译出密码的概率.
解　记事件A为“甲独立地译出密码”，事件B为“乙独立地译出密码”
(1)两个人都译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)两个人都译不出密码的概率为
P( )＝P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝＝.
(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，
∴其概率为1－P( )＝1－＝.
类型三　相互独立事件的综合应用
例3　甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率.
解　(1)设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
由题意得即
由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去).
将P(C)＝代入②得P(B)＝，
将P(B)＝代入①得P(A)＝.
故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.
反思与感悟　本题(1)问，可利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.
跟踪训练3　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.

解　记“三个元件T1，T2，T3”正常工作“分别为事件A1，A2，A3”，则
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
P＝P[(A2∪A3)A1]
＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)
＝×＝.

1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.不相互独立事件
答案　D
解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A、C错.而事件A1的发生对事件A2的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
2.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为(　　)
A.1－a－b B.1－ab
C.(1－a)(1－b) D.1－(1－a)(1－b)
答案　C
解析　∵2道工序相互独立，
∴产品的正品率为(1－a)·(1－b).
3.在一段时间内，甲去某地的概率为，乙去此地的概率为，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率为________.
答案　
解析　P＝1－＝.
4.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：
(1)两人都投中的概率；
(2)其中恰有一人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率.
解　(1)设A表示事件“甲投篮一次并且投中”，B表示事件“乙投篮一次并且投中”，则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”.由题意可知，事件A与事件B相互独立，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件A发生)，另一种是甲未投中、乙投中(事件B发生).根据题意得这两种情况不可能同时发生，即事件A与B互斥，并且事件A与，与B相互独立，故所求概率为：
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.
(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件为“两人各投篮一次，均未投中”，它的概率是P()＝P()·P()＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16，
因此，至少有一人投中的概率为1－P()＝1－0.16＝0.84.

1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即AB＝∅
概率公式
A与B相互独立等价于P(AB) ＝P(A)·P(B)
若A与B互斥，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立

2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)·P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.

一、选择题
1.若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B独立
D.事件A与B既互斥又独立
答案　C
解析　∵P(A)＝1－P()＝1－＝，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A、B相互独立.
2.甲射手击中靶心的概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射一次，那么等于(　　)
A.甲、乙都击中靶心的概率
B.甲、乙恰好有一人击中靶心的概率
C.甲、乙至少有一人击中靶心的概率
D.甲、乙不全击中靶心的概率
答案　D
解析　设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A，
则P(A)＝×＝，
甲、乙不全击中靶心的概率为P()＝1－P(A)＝.
3.张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估计做对第二道题的概率是(　　)
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
答案　B
解析　设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，
由已知得：P(A1)＝0.8，P(A1A2)＝0.6，
由P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8P(A2)＝0.6，
解得：P(A2)＝＝0.75.
4.如图，元件Ai(i＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是(　　)

A.0.729 B.0.8 829
C.0.864 D.0.989 1
答案　B
解析　电流能通过A1，A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A3的概率为0.9，
故电流不能通过A1，A2且也不能通过A3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.
故电流能通过系统A1，A2，A3的概率为1－0.019＝0.981.
而电流能通过A4的概率为0.9，
故电流能在M，N之间通过的概率是0.981×0.9＝0.882 9.
5.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　根据题意有P＝×＋×＋×＝.
6.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
7.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　甲队获冠军有两种情形：
甲第1局就赢；甲第1局输，第2局赢，
分别记为A1，A2事件.
甲队获得冠军为A1∪A2，
则P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋×＝.
二、填空题
8.事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
答案　，
解析　∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，
∴P()＝，即P(C)＝.又P(C)＝P()·P(C)＝，∴P()＝，P(B)＝.又P(AB)＝，则P(A)＝，∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
9.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________.
答案　
解析　分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次为事件BC＋AC＋AB发生，故概率为××＋××＋××＝.
10.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.
答案　0.46
解析　设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)·P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5
＝0.46.
三、解答题
11.在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、、，且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率.
解　(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
∴恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为
××＝，
∴至少有一个项目成功的概率为1－＝.
12.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话.
解　设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为 A3，
于是所求概率为P( A3)＝××＝.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A2＋ A3，
于是所求概率为P(A1∪A2∪ A3)
＝P(A1)＋P(A2)＋P( A3)
＝＋×＋××＝.
13.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列.
解　记事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(A4)＝.
(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则P(B)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P()
＝××＝.
(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)＝P(∪A1∪A1A2)
＝P()＋P(A1)＋P(A1A2)
＝＋×＋××＝.
(3)X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝P()＝，
P(X＝2)＝P(A1)＝×＝，
P(X＝3)＝P(A1A2)＝××＝，
P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝××＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P