2020届二轮复习计数原理、排列组合教案（全国通用）

2020届二轮复习  计数原理、排列组合   教案（全国通用）

类型一、分类计数原理

【例1】某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（      ）

      A.5    　　 　　  B.6        　　 C.7              D.8

【思路点拨】采用列举法分类讨论。

【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。

下面考虑这180元的使用：

1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；

2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；

3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；

4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；

故不同的方法共有2+1+1+3=7种。

【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。

举一反三：

【变式1】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，

在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.

则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.

【变式2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。

【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。

    第一类：A在第一垄，B有3种选择；

    第二类：A在第二垄，B有2种选择；

    第三类：A在第三垄，B有一种选择；

    同理A、B位置互换，共12种。

类型二、分步计数原理

【例2】某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？

【思路点拨】本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。

【解析】第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；

第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；

第3步：从30到36中选1个号有7种选法。

由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7=1050注，故至少要花1050×2=2100元。

【总结升华】解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，运用分步计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。

举一反三：

【变式1】

（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？

（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？

【解析】

（1）完成这件事分三步：

第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；

第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结果；

第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.

则共有4×4×4=64种不同结果.

（2）完成这件事情分四步:

第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；

第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.

则共有3×3×3×3=81种不同结果.

【点评】弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.

【变式2】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）

【答案】18，6；

一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，

a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，

由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.

若二次函数为偶函数，则b=0

同上共有3×2=6个.

【变式3】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

【答案】32；

和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，

子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.

而每个数的取法有2种，

所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.

类型三、排列数、组合数计算

【例3】计算下列各式的值

（1）（2）（3）

【思路点拨】利用排列数和组合数的公式及意义求解，（2）中注意n的取值范围。

【解析】（1）方法一：

方法二：

（2）若有意义，

则解得。

（3）

【总结升华】在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。

举一反三：

【变式1】解方程：（1）；（2）.

【答案】

（1）利用，

原方程可化为： 或

   解得或

故原方程的解为：或。

（2）原方程

解得.

故原方程的解为：。

类型四、排列组合常见问题及解法

一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题

【例4】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人。

【思路点拨】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可。但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法。

【解析】（1）从7个人中选5个人来排列，有种。

（2）分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有·=5040种。事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件。

（3）（优先法）

方法一：甲为特殊元素。先排甲，有5种方法；其余6人有种方法，故共有5×=3600种。

方法二：排头与排尾为特殊位置。排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有种方法，共有×=3600种。

（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列，也有种方法，故共有×=576种。

（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有×=1440种。

（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有××=720。

【总结升华】计数原理的应用问题，采用特殊位置优先考虑的原则，注意分类与分步计数原理的应用，考查计算能力。

举一反三：

【变式1】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

【解析】

(1)从M到N必须向上走3步，向右走5步，共走8步；

(2)每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；

(3)事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。

从而，任务可叙述为：从8个步骤中选出哪3步是向上走，或者选出哪5步是向右走，就可以确定走法数，

∴从M到N不同的走法种数为：，或。

【变式2】从1，2，3，……17，18，这18个数中，任意取出3个，满足3个数的和恰好被3整除，这样的取法共有多少种？

【解析】将从1到18的18个自然数按可被3整除、被3除余1、被3除余2分为三组，

每组都有6个数

满足题意的取法有两类：

一类是从所划分的三组数中任取一组中的3个数，其和可被3整除，这样的取法有种；

另一类是从所划分的三组数中每组只取1个数，其和也可被3整除，这样的取法有种。故满足题意的方法总数为（种）。

【变式3】身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为       。

【答案】每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，

因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，

从而有。

二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

【例5】六人站成一排，求

  (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数

  (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

【思路点拨】先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而要考虑分类。

【解析】(1)第一类：乙在排头，有种站法；

    第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法

    共种站法。

(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；

   第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；

   第三类：甲不在排尾，乙在排头，有种方法；

   第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法；

   共种。

【总结升华】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先从特殊元素和特殊位置入手。

举一反三：

【变式】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？

【答案】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，

因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的次品有种可能；

第二步：前四次有一件正品有种可能；

第三步：前四次有种可能；

∴共有种可能。

三、捆绑与插空

【例6】4个男同学，3个女同学站成一排，下列情况下有多少种不同的排法？
（1）3个女同学必须排在一起；

（2）任何两个女同学彼此不相邻；

（3）女同学从左到右按高矮顺序排。

【思路点拨】（1）用捆绑法，先把三个女同法学捆绑在一起，当做一个元素和4个男同学进行排列，再将3个女同学进行全排列，利用分步计数原理，计算可得答案； 

（2）用插空法，先将男同学进行全排列，易得4个男同学之间有5个空挡，再在其中任找3个空挡把3名女同学放进去，由排列、组合公式可得其情况数目，进而利用分步计数原理，计算可得答案；

（3）根据题意，先从7个位置中选4个排男同学，再将剩下的3个就按女同学从左到右按高矮顺序，排进剩余的3个空位，由排列可得其情况数目，进而利用分步计数原理，计算可得答案【解析】

（1）根据题意，分两步进行：

①把三个女同法学捆绑在一起和4个男同学进行排列，有A55种不同方法，

②3个女同学进行全排列，有A33种不同的方法，

利用分步计数原理，则3个女同学必须排在一起的不同排法有N1=A33•A55=6×120=720种； 

（2）根据题意，分两步进行：

①先排4个男同学：有A44种不同的方法，

②4个男同学之间有5个空挡，任找3个空挡把3名女同学放进去，有A53种不同的方法

利用分步计数原理，任何两个女同学彼此不相邻的不同排法有N2=A44•A53=24×60=1440种，

（3）分两步进行：

①先从7个位置中选4个排男同学，有A74种排法，

②剩下的3个就按女同学从左到右按高矮顺序排列，排进剩余的3个空位，有1种排法，

则有1×A74=7×6×5×4×1=840种不同方法．

【总结升华】本题考查排列、组合的运用，解题的关键在于根据题意的要求，合理的将事件分成几步来解决，其次要注意这类问题的特殊方法，如插空法、捆绑法。

举一反三：

【变式1】停车场有一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是_____种。

【答案】把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。

【变式2】有n个不同的小球和n个不同的小盒，现将这n个小球放入到小盒中，恰有1个空盒的放法共有多少种？

【答案】恰有1个空盒的放法即有2个小球放在同一盒中，其余各盒各放1个小球，必出现1个空盒。

先从n个小球中任取其中2个“捆”在一起的取法有种，

再把“捆”后的n-1个小球排放在n个小盒中的n-1个盒中，这样的排放方法有种，

故满足题意的方法总数为种。

【变式3】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？

【答案】∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题；

另外没有命中的之间没有区别，不必计数，

即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个排列，即

【变式4】马路上有编号为1，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？

【答案】即关掉的灯不能相邻，也不能在两端，又因为灯与灯之间没有区别，

因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯

∴

四、间接法

【例7】从10人中选4人参加一个会议，其中甲、乙、丙三人中至少有1人参加的与会方法有多少种？

【思路点拨】有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

【解析】方法一：排除法

从10人中任选4人参加会议的方法有种，其中甲、乙、丙都不参加会议的方法有种，

故甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。

方法二：分类法

甲、乙、丙三人中至少有1人参加会议可分为三类：

三人中只有1人参加会议，只有二人参加会议、三人都参加会议三类情况，

而每一类中情况还需分步，先取三人中参加会议的人，再从其余7人中取参加会议的人选，

因此甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。

【总结升华】对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面的情况，一般含有“至多”、“至少”、“所有”等词的问题采用间接法。

举一反三：

【变式1】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少四面体？

【答案】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，

∴。

【变式2】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？

【答案】所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，

∴

【变式3】7人选5人排成一队，其中甲不能排在中间，有多少种不同的排法?

【答案】

（1）选甲：共有

（2）不选甲：

所以共有2160种不同的排法。

五、隔板法

【例8】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法?

【思路点拨】把20台相同的电脑分给18个村，每村至少分一台，可以用隔板法来解。

【解析】在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有种。

【总结升华】对于相同元素的分配问题，常采用隔板法，灵活运用隔板法能处理一些较复杂的排列组合问题,但使用时有三点要求：①元素相同；②每组均“非空”,即每组中至少分一个元素；③不能有剩余元素。

举一反三：

【变式】15个相同的球，放入标有1，2，3，4的四个盒子内，求分别满足下列条件的放法种数：

(1)每个盒子放入的球数不小于盒子的号码；

(2)15个球随意放入四个盒，使得每个盒子不空。

【答案】

(1)先在2号盒子放入1球，在3号盒子放入2球，在4号盒子放入3球，共用去6个球，

还剩下9个球，相同的球，可以用挡板法，在8个空中插入3块挡板，共有；

(2)

六、定序问题

【例9】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？

【思路点拨】本题可以采用消序的方法。

【解析】首先不考虑男生的站位要求，共种，

男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，由于五男生所占位置相同的情况下，共有变化，  ；若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。

【总结升华】当某些元素次序一定时，先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列，解题方法是：n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法。

举一反三：

【变式】有4名男生、5名女生，全体排成一行，甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种不同的排法?

【答案】

方法一：等机会法

9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，

因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，

故共有=60480种排法.

方法二：C·A=60480种.­­

七、排列组合综合应用

【例10】从0，1，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数？

【思路点拨】本题采取先选后排的方法。

【解析】还要考虑特殊元素0的选取。

（1）两个选出的偶数含0，则有种；

（2）两个选出的偶数字不含0，则有

因而共

【总结升华】解排列组合的应用题要注意以下几点：

（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；

（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；

（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；

（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。

（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。

举一反三：

【变式】电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法？

【解析】

（1）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种；

（2）选择10层中的四层下楼有，      

∴