2020届二轮复习排列组合问题的常用方法总结教案（全国通用）



排列组合问题的常用方法总结1









典例分析


直接法
（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）
【例1】 从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有人参加，交通和礼仪各有人参加，则不同的选派方法共有 ．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】．
【答案】60；


【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，北京高考
【解析】略
【答案】A；


【例3】 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有个点，轴正半轴有个点，将轴上这个点和轴上这个点连成条线段，这条线段在第一象限内的交点最多有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A；，选A．
【答案】A；


【例4】 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
⑴从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴将取出个球分成三类情况：
①取个红球，没有白球，有种；
②取个红球个白球，有种；
③取个红球个白球，有种；
∴．
⑵设取个红球，个白球，则，
∴或或，
∴符合题意的取法种数有种．


【例5】 一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球．
⑴从口袋内取出个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出个球，使其中含有个黑球，有多少种取法？
⑶从口袋内取出个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴从口袋内的个球中取出个球，取法种数是；
⑵从口袋内取出个球有个是黑球，于是还要从个白球中再取出个，
取法种数是；
⑶由于所取出的个球中不含黑球，也就是要从个白球中取出个球，
取法种数是．

【例6】 有名划船运动员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，其余人既会划左舷也会划右舷．从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】

（种）
答：一共有种不同选法．
【答案】2174；


【例7】 若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A；具有伙伴关系的元素组有、、、共四组，
它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为，选A．
【答案】A；


【例8】 从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，朝阳区高三一模
【解析】A；由比例知抽取的人中，有个女生，个男生，
于是问题转化为在名女生中抽出个女生，名男生中抽出个男生的抽法数．易知答案为．
【答案】A



【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街条，东西向大街条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，
因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题，故最短的走法有种．
【答案】35；


【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用步走完，则上楼梯的方法有______种．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】；从二楼到三楼用步走完，共走级，则必有步每步走两级，
其余步每步级，
因此共有种方法．
【答案】35；


【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】设亚洲队队员为，欧洲队队员为，
下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中不被淘汰的队员和可能未参赛的队员，所以比赛过程可表示为个相同的白球和个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为种．
【答案】252







【例12】 设含有个元素的集合的全部子集数为，其中由个元素组成的子集数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】含有个元素的集合的全部子集数为，
由个元素组成的子集数为，．
【答案】B；


【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为　　　　　 ．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题设知，质点向正方向跳动次，负方向跳动次，
因此质点的运动方法种数为种．
【答案】10；


【例14】 从名男同学，名女同学中选名参加体能测试，则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】选出的名同学中包含名男同学、名女同学的选法有种，
包含名女同学、名男同学的选法有种，故不同选法有种．
【答案】420；


【例15】 在的边上有四点，边上有共个点，连结线段，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A；上任意两点与上任两点恰好确定一对和睦线，共对，选A．
【答案】A；


【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？
⑴ 、必须当选；
⑵ 、都不当选；
⑶ 、不全当选；
⑷ 至少有2名女生当选；
⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 除、选出外，从其它10个人中再选3人，
共有的选法种数为，（种）．
⑵ 去掉、，从其它10个中选5人，共有的选法种数为：（种）．
⑶ 按、的选取情况进行分类：、全不选的方法数为，、选1 人的方法数为，
共有选法（种）．
⑷ 从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为：
（种）．
⑸ 选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委，用分步计数原理可得到所有方法总数为：（种）．


【例17】 甲组有名男同学，名女同学；乙组有名男同学、名女同学．若从甲、乙两组中各选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，全国高考
【解析】D；分两类：甲组中选出一名女生有种选法；
乙组中选出一名女生有
种选法．故共有种选法．
【答案】D；

【例18】 从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，湖南高考
【解析】C；分为两类：甲乙两人只去一个的选法有：；
甲乙都去有种，所以共有种．
【答案】C；


【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，福建高考
【解析】A；包括有一名女生和有两名女生两种情况，种数为．
【答案】A；


【例20】 要从个人中选出个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分成两类：若甲乙同时参加，则从剩下的人中再选择一个，有种选法；
若甲乙同时不参加，则从剩下的人中选择四人参加，有种选法，
故满足条件的选法共有（种）．
【答案】98；


【例21】 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】四辆车全排有种排法；若其中的一辆车必须停放在两边，
则先选择一个停车位停放这辆车，其它辆车全排，共有种停法．
【答案】12；

【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种 B．72种 C．42种 D．36种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，丰台区2模
【解析】甲有种安排，甲排好后，乙有种，然后剩下的人有种，共种
【答案】D；


【例23】 某班有名男生，名女生，现要从中选出人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于人的选法为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】男生人，女生人，有；男生人，女生人，有，
共计．
【答案】D；


【例24】 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位，数字6不在千位．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，
由乘法原理：．
⑵当1在千位时余下三位有，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有．所以总共有种．
【答案】252

【例25】 甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】冠军可能是丙、丁、戊中的一个，有种可能；
副班长（垫底的）除去冠军和乙外，也有种情况；
剩下的个人名次从第二到第四随便排列，有种，
故共有种可能．
【答案】54；


【例26】 某高校外语系有名奥运会志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，东城1模
【解析】略
【答案】A；

【例27】 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，崇文2模
【解析】先排奇数，有种．奇数排好后，偶数有种位置选择，每种有种排列方法，
故五位数的个数共有个．
【答案】D；


【例28】 某电视台连续播放个不同的广告，其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，东城2模
【解析】考虑五个空位，选择一个奥运广告放在最后一个空位上，
再从前三个空位中选择一个空位放置余下的一个奥运广告，最后将三个商业广告全排，有（种）；
【答案】C；


【例29】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，
要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，福建高考
【解析】特殊位置优先安排，因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有种
方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案
种．
【答案】240；


【例30】 从名男生和名女生中选出人，分别从事三项不同的工作，若这人中至少有名女生，则选派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】可能情况有个女生个男生，个女生个男生和个女生．
【答案】B；


【例31】 甲组有名男同学，名女同学；乙组有名男同学、名女同学．若从甲、乙两组中各选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，全国高考
【解析】分两类：甲组中选出一名女生有种选法；
乙组中选出一名女生有种选法．故共有种选法．
【答案】D；


【例32】 将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】分两步完成：第一步将名大学生按分成三组，其分法有种；
第二步将分好的三组分配到个乡镇，有种．所以满足条件的分配方案有种．
【答案】36；


【例33】 用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，四川高考
【解析】B；分类讨论：
①若首位为或，则先选择首位与末位有种方法，再选择中间的三位有种方法，共有种方法；
②若首位为或，则首位有种选法，末位从与中选择，有种选法，剩下的三位全排，有种排法，共有种排法；
故满足条件的数共有个．
【答案】B；


【例34】 一生产过程有道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等名工人中安排人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排人，则不同的安排方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，辽宁高考
【解析】若第一道工序安排甲，由最后一道工序只能安排丙，
从其它四人中安排两人在中间两道工序上，共有种；若第一道工序安排乙，最后一道工序只能安排甲或丙，共有种安排方案．故总共的安排方案有种．
【答案】B；


【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）
A．36 B．42 C． 48  D．60
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，崇文一模
【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1，2，3，4，5．于是甲只能位于2，3，4号位．
i） 当甲位于2号位时，3位女生必须分别位于1，3，4位或者1，4，5位．于是相应的排法总数为；
ii） 当甲位于3号位时，3位女生必须分别位于1，2，4位或者1，2，5位或者1，4，5或者2，4，5位．于是相应的排法总数为．
iii） 当甲位于4号位时，情形与i）相同．排法总数为．
综上，知本题所有的排法数为12+24+12=48．
【答案】C；




【例36】 从名女生，名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，北京市朝阳1模
【解析】A；由比例知抽取的人中，有个女生，个男生，
于是问题转化为在名女生中抽出个女生，名男生中抽出个男生的抽法数．易知答案为
【答案】A；


【例37】 名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】1星
【题型】填空
【关键字】2009年，海南宁夏高考
【解析】．
【答案】140；

【例38】 给定集合，映射满足：
①当时，；
②任取，若，则有．
则称映射：是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”．
表1

表2

1
2
3

2
3
1



⑴

1
2
3
4


3






已知表2表示的映射：是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
⑵若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．














【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，海淀2模
【解析】略
【答案】⑴














或














⑵．
⑴由，且知，，于是分别为，不计顺序；
⑵若，由知，由知，此时必有，，不符合题意，故；
设，，则其它数都满足，不妨设，
则由题意知必有，，，，故只需从中选出即可，共有种选法．


【例39】 将个不同的小球全部放入编号为和的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，高考数学二轮冲刺专题测试
【解析】91；编号为的盒子可以放入球的个数为2，3，4，
于是不同的放球的方法数．
【答案】91；


【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）
A．10种　　　B．20种　　　C．36种 　　　D．52种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，天津高考
【解析】分情况讨论：
①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；
②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；
则不同的放球方法有10种，选A．
【答案】A；



【例41】 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，
⑴从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴将取出个球分成三种情况：①个红球，没有白球，有种；
②取个红球个白球，有种；③取个红球个白球，有种．
因此红球的个数不比白球少的取法有种．
⑵设取红球的个数为，白球的个数为，，则
，符合要求的有，，
因此总分不少于分的取法有．
【答案】186


【例42】 正整数称为凹数，如果，且，其中，请回答三位凹数共有 个（用数字作答）．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】
【答案】240


【例43】 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年，广东高考
【解析】分两类：只有小张或小赵；小张，小赵都在，
共有种方案．
【答案】A

【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】按照第一棒为丙，第一棒为甲乙两种情况，．
【答案】96


【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏．
出牌的方法可分为以下几类：
⑴5张牌全部分开出，有种方法；
⑵2张2一起出，3张A一起出，有种方法；
⑶2张2一起出，3张A分开出，有种方法；
⑷2张2一起出，3张A分两次出，有种方法；
⑸2张2分开出，3张A一起出，有种方法；
⑹2张2分开出，3张A分两次出，有种方法；
因此，共有不同的出牌方法种．
【答案】860；


【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】D；


【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）
A．种 B．3种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A；


【例48】 袋中装有分别编号为的个白球和个黑球，从中取出个球，则取出球的编号互不相同的取法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，西城2模
【解析】分析：从四个编号中任取三个编号，再对选出的每个编号的两个球
中任选一个球即可，故共有取法：（种）
【答案】C;


【例49】 现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生人，女生人 B．男生人，女生人
C．男生人，女生人 D．男生人，女生人．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】设男学生有人，则女学生有人，则，
即，解得．
【答案】B；


【例50】 将个小球任意放入个不同的盒子中，
⑴若个小球各不相同，共有多少种放法？
⑵若要求每个盒子都不空，且个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑶若要求每个盒子都不空，且个小球互不相同，共有多少种不同的放法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴每个小球有个放法，共有种放法；
⑵，故只需选一个盒子放两个球即可，故有种放法；
⑶个小球不同时，选择一个盒子放两个球有种，选择两个小球放入该盒，有种选法，其他两个小球全排，故有种．

【例51】 将个小球任意放入个不同的盒子中，每个盒子都不空，
⑴若个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑵若个小球互不相同，共有多少种不同的放法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴法一：∵，
∴分三类，共有分法；
法二（隔板法）：将个小球排成一排，插入块隔板，
故共有分法种；
法三（加号法）：将写成个相加，共有个加号，从中任意选定两个加号，则这个被分成三组，每组的和都大于，对应一种放球的方法，故共有分法种；
⑵∵，
当小球分成时，有种排法；
当小球分成时，有种排法；
当小球分成时，有种排法；
∴共有分法种．
也可通过平均分组考虑此问：
共有分法种．


【例52】 四个不同的小球，每球放入编号为、、、的四个盒子中．
⑴ 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？
⑵ 四个盒都不空的放法有多少种？
⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种？
⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种？
⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：⑴注意合理的分类；⑵可以用前面例题中先分堆再排列的方法．
解析：⑴ 由于可以随便放，故每个小球都有种放法，所以放法总数是种．
⑵ 将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是种 ．
⑶ 由题意，必然四个小球放入三个盒子中，分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子，所以放法总数是：种．
⑷ 由题意，必然四个小球放入个盒子中．
方法一：分三步完成，选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：种．
⑸ 分三类放法．
第一类：甲球放入号盒子，即，则乙球有种放法（可放入号盒子），其余两球可以随便放入四个盒子，有种放法．故此类放法的种数是；
第二类：甲球放入号盒子，即，则乙球有种放法（可放入号盒子），其余两球随便放，有种放法．故此类放法的种数是；
第三类：甲球放入号盒子，即，则乙球只有种放法（放入号盒子），其余两球随便放，有种放法．故此类放法的种数是．
综上，所有放法的总数是：种．
本题也可这样理解：先选出两个盒子放入甲、乙两球，有种放法；另外两球随便放，有种放法，由乘法原理，所有放法的总数是种．


【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位，若经过次跳动质点落在点处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共___________种；若经过次跳动质点落在点处（允许重复过此点），其中，且为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年，北京丰台高三统一练习
【解析】易知质点必须经过4次右移，1次左移才可以达到题述要求，
于是在5次跳动里选一次左移即可．答案为．同理，次跳动必须经过次左移，次右移方可达到点．答案是
【答案】，；


【例54】 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】2018年，全国高考
【解析】不妨设中最小的元素为，于是为的一个非空子集，
一共种选法，中元素除外为的一个子集，共种选法．于是当中最小元素为时，不同的选择方法数为．
于是所有的取法数为
【答案】B


【例55】 是集合到集合的映射，是集合到集合的映射，则不同的映射的个数是多少？有多少？满足的映射有多少？满足的映射对有多少？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】：，中每个元素的象有三种选择，故共有不同的映射的个数为
个；
同理的个数有．
，故满足的映射有：
个．
，对于中的任意一个元素，经映射后的像有种选择，要满足，对来说，有互不相等，否则有，，中有相等的值出现，不符合题意；从而满足的共有个；
当确定后，在的值域上的函数值是唯一的，需满足，不属于的值域的数在的映射下的象任意，故对于每一个，有个与之对应，使．故满足条件的映射对共有个．




【例56】 排球单循坏赛，胜者得分，负者分，南方球队比北方球队多支，南方球队总得分是北方球队的倍，
设北方的球队数为．
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；
⑵证明：或；
⑶证明：冠军是一支南方球队．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴由题设南方球队有支，所有球队总得分为．
北方球队总得分为，北方球队之间比赛总得分．
⑵显然，解得．
又因为，经验算只有或满足要求．
⑶当时，北方球队总得分为，北方球队之间得分为，从而北方球队胜南方球队所获得的分数和为，因此北方球队的最高得分为．
又因为南方支球队总得分为，故南方球队中至少有一支得分超过分，因而冠军为南方球队．
当时，类似的，北方球队总得分为，北方球队之间得分为，北方球队胜南方球队所获得的分数和为，因此北方球队的最高得分为．
而南方支球队总得分为，故南方球队中至少有一支得分超过分，因而冠军必为南方球队．


【例57】 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意．设是的任意的一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，东城2模
【解析】易知对于的任意排列与，
第一行是与第一行是的数表的张数是一样的，因此所求的数目为，其中为时的数表的张数．下面求，考虑的取值，有种可能或，取定后，也有种可能，剩下的都唯一确定，故．从而要求的数表数为．
【答案】A；





间接法（直接求解类别比较大时）
【例58】 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，
类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，
其中0在百位的有个，这是不合题意的．
故共可组成不同的三位数（个）
【答案】432；


【例59】 从中取一个数字，从中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，丰台1模
【解析】从中取一个数字，从中取两个数字进行排列，
然后在得到的排列中去掉首数字为的即满足题意，因此为所求．
【答案】B；


【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有取法，
其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有15－3＝12个不同的三棱锥．
【答案】12；

【例61】 设集合，集合是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，西城2模
【解析】的三元子集中不满足条件的只有，因此满足条件的子集的个数为
．
【答案】D；


【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】用间接法解答：四名学生中选两名学生分在一个班的种数是，
顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是．
【答案】C；

【例63】 某高校外语系有名奥运会志愿者，其中有名男生，名女生，现从中选 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，东城1模
【解析】分析：从中任选人，除去全是男生和全是女生的情况即可，故共有选法
（种）；
【答案】A；


【例64】 对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于．若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是，则的“顺序数”是_________．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，丰台2模
【解析】一方面，如果在时有，与“顺序”类似的定义“倒序”，
则对一个元数组，有“顺序数”与“逆序数”的和为；
另一方面，如果将一个元数组按原来的倒序排列，那么新数组的每个“顺序”都是和原数组的“倒序”是以一一对应的，所以“顺序数”与原数组的“倒序数”相等；
综上，为所求．
【答案】6；



【例65】 已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，山东高考
【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为，
但集合中有相同元素，由三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为个，选A．
【答案】A；


【例66】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年，浙江高考
【解析】每个人都有种站法，根据乘法原理知共有种站法，
减去不符合条件的，
即三个人站在同一级台阶上的种，共有种．
【答案】336；


【例67】 设有编号为，，，，的五个球和编号为，，，，的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，
⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴；选出两个球，归为一组，从五个盒子中选出四个盒子，
把这四组球放入；
⑵；
⑶．

【例68】 在排成的方阵的个点中，中心个点在某一个圆内，其余个点在圆外，在个点中任选个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A；

【例69】 从甲、乙等名同学中挑选名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有人参加，则不同的挑选方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年，四川高考
【解析】从个同学中挑选名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
从甲、乙之外的个同学中挑选名参加某项公益活动有种不同挑选方法；
∴甲、乙中至少有人参加的方法有种．
【答案】C；

【例70】 若关于的方程组有解，且所有解都是整数，则有序数对的数目为（ ）
A． B． C． D．

【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】易知整数解只有或，
总共个整数解，问题转化为求与圆的交点为这个整点的直线的条数，共有条（是切线的数目），注意到不过原点，故还要减去过原点的条直线，因此所求的数目为．
【答案】D；


【例71】 从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，辽宁高考
【解析】直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共种；
间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有种．
【答案】A；


【例72】 甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，全国高考
【解析】用间接法即可，种．
【答案】C；


【例73】 ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的的子集个数为_____．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】直接法：分三类，在个偶数中分别选个，个，个偶数，其余选奇数，
；
间接法：减去没有偶数和只有个偶数的，．
【答案】105；


【例74】 在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法，总的4位数有个，被5整除即个位为0的4位数有个，
因此不能被5整除的数有个．
【答案】72；


【例75】 在的边上取个点，在边上取个点（均除点外），连同点共个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】解法一：
分三类：
①从OA边上（不包括O）中任取一点与从OB边上（不包括O）中任取两点，可构造一个三角形，有个；
②从OA边上（不包括O）中任取两点与OB边上（不包括O）中任取一点，与O点可构造一个三角形，有个；
③从OA边上（不包括O）任取一点与OB边上（不包括O）中任取一点，与O点可构造一个三角形，有个．
由加法原理共有个三角形．
解法二：
从中任取三点共有个，其中三点均在射线OA（包括O点）上，有个，三点均在射线OB（包括O点）上，有个．所以，个数为个
【答案】90


【例76】 共个人，从中选名组长名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】不考虑限制条件有，若偏偏要当副组长有，为所求
【答案】B；


【例77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年，湖北高考
【解析】用间接法解答：四名学生中选两名学生分在一个班的种数是，
顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是．
【答案】C；


【例78】 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法，任选3个点的方法数减去3点共线的情况，即为所求个．
【答案】76


【例79】 从名奥运志愿者中选出名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．种 　B．种 C．种 　　D．种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，西城2模
【解析】从中任选人全排，除去甲从事翻译工作的情况，共有方案：（种）．
【答案】C；

【例80】 某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教（每地人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】用间接法求解简单；也可直接法分3类求解．
【答案】A；

【例81】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各
一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法，取3台电视的方法数有种，不含甲型的取法有种，不含乙型的
取法有种，故甲、乙型都有的取法有种．
【答案】70；