2020届二轮复习几类典型的随机分布4教案（全国通用）
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A
W
1． 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．
如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：
… | … | |||||
… | … |
我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．
2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量的分布列为
其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．
二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．
两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．
我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列
… | … | |||||
… | … |
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
⑷正态分布
1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．为随机变量，为常数，则；
4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．
⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，
则，．
4．事件的独立性
如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，
这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．
5．条件概率
对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．
正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）
【例1】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】正态分布
【难度】1星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；
【例2】 若正态分布密度函数，下列判断正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值
C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值
【考点】正态分布
【难度】1星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；
【例3】 对于标准正态分布的概率密度函数，下列说法不正确的是（ ）
A．为偶函数
B．最大值为
C．在时是单调减函数，在时是单调增函数
D．关于对称
【考点】正态分布
【难度】1星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】关于对称．
【答案】D；
【例4】 设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的渐近线是 D．
【考点】正态分布
【难度】1星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】C；
【例5】 设，且总体密度曲线的函数表达式为：，．
⑴求；⑵求及的值．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴，因此．
⑵，
由正态变量在区间内取值的概率是知：．
，
由对称性知，
所以
，
于是．
【答案】⑴．
⑵，．
【例6】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．该市这次考试的数学平均成绩为分
B．分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学标准差为
【考点】正态分布
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】不难知道，由正态分布曲线的特点知答案为B．
【答案】B；
正态分布的性质及概率计算
【例7】 设随机变量服从正态分布，，则下列结论正确的个数是．
⑴
⑵
⑶
⑷
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】⑴⑵⑷正确．
【答案】；
【例8】 已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】正态分布
【难度】星
【题型】
【关键字】2018年，重庆高考
【解析】由正态分布的性质知：．
【答案】D；
【例9】 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年，全国高考
【解析】正态分布的图象的对称轴为，在内取值的概率为，又随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的正态曲线在两直线间的曲边梯形的面积，可知，随机变量在内取值的概率于在内取值的概率相同，也为，这样随机变量在内取值的概率为．
【答案】；
【例10】 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年，浙江高考
【解析】随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的正态曲线在两直线间的曲边梯形的面积，而，
由，，故选A．
【答案】A；
【例11】 已知，若，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】因为，所以，故正态曲线关于对称，于是，所以．
【答案】B；
【例12】 设随机变量服从正态分布，若，则．
【考点】正态分布
【难度】星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，解得．
【答案】；
【例13】 设，且，则的值是（用表示）．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略．
【答案】；
【例14】 正态变量，为常数，，若，求的值．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】因为和的区间长度相等，要使成立，只能是和关于对称．因此，即．
于是．
【答案】；
【例15】 某种零件的尺寸服从正态分布，则不属于区间这个尺寸范围的零件约占总数的 ．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】，，因此答案为．
【答案】；
【例16】 某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布．
⑴若参加考试的学生有人，学生甲得分为分，求学生甲的物理成绩排名；
⑵若及格（分及其以上）的学生有人，求第名的物理成绩．
已知标准正态分布表．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴设排在学生甲前面的学生的物理成绩为分，则
．
而，因此学生甲的物理成绩排名约为．
⑵设60分及以上的人的物理成绩为分，则
即及格的考生（人）占全体考生的，因此考生总数约为人．
故前名考生在全体考生中所占比率大约为．
设第名考生的成绩为分，则有：
，即．
查表有，即．解出．
所以第名学生的物理成绩约为分．
【答案】⑴学生甲的物理成绩排名约为．
⑵第名学生的物理成绩约为分．
【例17】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在分以上（含分）的学生有名．
⑴试问此次参赛学生总数约为多少人？
⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
附：标准正态分布表．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】⑴设参赛学生的分数为，因为，所以
．
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的，
因此参赛总人数约为（人）．
⑵假定设奖的分数线为分，则
，
即，查表得，解得．
故设奖得分数线约为分．
【答案】⑴设参赛总人数约为人．
⑵奖得分数线约为分．
正态分布的数学期望及方差
【例18】 如果随机变量，求的值．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】由已知有．
由正态变量在内取值的概率为知．
由对称性知．
【答案】
正态分布的原则
【例19】 灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：），已知，要使灯泡的平均寿命为的概率为，则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上．
【考点】正态分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】因为灯泡寿命，故在即
内取值的概率为，故灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上．答案为．
【答案】．
【例20】 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差为小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于小时的概率是多少？
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】电池的使用寿命，
．
即这节电池可持续使用不少于小时的概率是．
【答案】
【例21】 某班有名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数是．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】数学成绩是，．
．
分到分的人数约为．
【答案】．
杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）
【例22】 已知连续型随机变量的概率密度函数，
⑴求常数的值；⑵求．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴因为所在区间上的概率总和为1，即与轴所围图形面积为1．
所以，解得．
⑵即求在区间内，曲线与轴所围图形的面积
．
【答案】⑴．
⑵．
【例23】 已知连续型随机变量的概率密度函数，求的值及．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】由与轴所围图形面积为1知：
，即，解得．
．
【答案】，．
【例24】 设随机变量具有概率密度，求的值及．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】由，即，解得．于是
．
注：此题模型为常见的连续随机分布：指数分布．
其概率密度的一般形式为．其数学期望为，方差为
【答案】，．
【例25】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离的密度函数为，若炸弹落在目标40米以内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】每投一颗炸弹，可看作一次试验，每次试验仅有两种结果，要么铁路控制枢纽
被破坏，要么没有被破坏．设铁路控制枢纽被破坏的概率为，则：
．
设表示“着弹点落在米之内”的炸弹的数目，则．所求概率为
．
【答案】
【例26】 以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）
A． B．
C． D．
【考点】正态分布
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略．
【答案】B；
【例27】 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布
⑴若只有分钟可用，问应走哪条路线？
⑵若只有65分钟可用，又应走哪条路线？
【考点】正态分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴走第一条路线，及时赶到的概率为
走第二条路线及时赶到的概率为
因此在这种情况下应走第二条路线．
⑵走第一条路线及时赶到的概率为
走第二条路线及时赶到的概率为
因此在这种情况下应走第一条路线．
【答案】⑴应走第二条路线．
⑵应走第一条路线．
