2020届二轮复习几类典型的随机分布2教案（全国通用）

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．

如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：

我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量的分布列为

其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．

两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布

一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为

，为和中较小的一个．

我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．

2．二项分布

若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列

由于表中的第二行恰好是二项展开式

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，

记作．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则

，．

⑷正态分布

1．   概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．

2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．

正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．

式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．

⑶重要结论：

①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．

②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．

⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．

．

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

3．离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

2．离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．

3．为随机变量，为常数，则；

4． 典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．

⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．

⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，

则，．

4．事件的独立性

如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，

这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．

5．条件概率

对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．

【例1】         一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，从中任意取个，则取到新球的个数的期望值是         ．

【考点】超几何分布

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】超几何分布，．

【答案】；

【例2】         某人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】设答对的试题数为，则服从参数为的超几何分布，因此

由公式知他答对题数的期望为．

故他得分的期望值为分．

【答案】．

【例3】         以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】设女性委员的人数为，则服从参数为的超几何分布，其概率分布为，

期望，方差．

【答案】概率分布：，

期望：，方差：．

【例4】         在个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求的期望值及方差．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】抽取样本连续抽取3次，也可认为一次抽取3个，所以服从参数为的

超几何分布．服从参数为的超几何分布．且．

于是，

．

【答案】，．

【例5】         某人可从一个内有2张元，3张元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望值．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】方法一：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布．

．

时他所获得的钱数分别为．

因此他获得钱数的期望值为：

元．

方法二：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布．

由公式知．

因此他获得钱数的期望值为：元．

【答案】．

【例6】         某人有一张元与张元，他从中随机地取出张给孙儿、孙女，每人一张，求孙儿获得钱数的期望值．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】方法一：设他取出元的张数为，则服从参数为的超几何分布．

．

时他所取出的钱数分别为．

因此他取出钱数的期望值为：．

孙儿获得钱数的期望值为．

方法二：设他取得元的张数为，则服从参数为的超几何分布．

由公式知．

因此他取出钱数的期望值为：元．

【答案】．

【例7】         从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，设随机变量表示所选人中女生的人数．

⑴ 求的分布列；

⑵ 求的数学期望与方差；

⑶ 求“所选人中女生人数”的概率．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】⑴ 可能取的值为．．

所以，的分布列为

⑵ 由⑴，的数学期望为；

（注：服从参数为的超几何分布，故由公式得）

；

⑶ 由⑴，“所选人中女生人数”的概率为

．

【答案】⑴的分布列为

⑵ ；；

⑶ ．

【例8】         甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．

⑴ 求甲答对试题数的分布列、数学期望与方差；

⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】⑴ 依题意，可能取的值为，．

甲答对试题数的分布列如下：

甲答对试题数的数学期望．

；

（注：服从参数为的超几何分布，故由公式得）

⑵ 设甲、乙两人考试合格的事件分别为、，

则，．

因为事件、相互独立，

法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为．

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．

法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

．

【答案】⑴ 甲答对试题数的分布列如下：

．；⑵ ．

【例9】         一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是．

⑴若袋中共有个球，从袋中任意摸出个球，求得到白球的个数的数学期望；

⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

【考点】超几何分布

【难度】4星

【题型】解答

【关键字】2018年，浙江高考

【解析】⑴设袋中白球的个数为，则“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”的

概率为：，解得．即白球有5个．

设从袋中任意摸出3个球，得到白球的个数为，则随机变量服从参数为的超几何分布．因此数学期望为：．

⑵设袋中有个球，则由题意其中黑球个数为，因此．

设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为，则服从参数为的超几何分布．因此．

要证，只需证，即，

只需证，该式化简后即为，这是成立的．

因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．

又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．

【答案】⑴．

⑵设袋中有个球，则由题意其中黑球个数为，因此．

设从袋中任意摸出2个球，得到黑球的个数为，则服从参数为的超几何分布．因此．

要证，只需证，即，

只需证，该式化简后即为，这是成立的．

因此从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．

又已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，所以白球比黑球多，从而红球的个数最少．