2020届二轮复习直线、平面垂直的判定和性质教案（全国通用）

2020届二轮复习  直线、平面垂直的判定和性质   教案（全国通用）

类型一、直线与平面垂直的判定

例1、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，

M，N分别是AB，PC的中点.

（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.

【证明】（1）连接AC，AN，BN，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，

∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，

又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

（2）连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.

∵四边形ABCD为矩形.∴AD=BC，∴PA=BC.

又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.

又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,

∴MN⊥平面PCD.

【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.

举一反三：

【变式】【高清课堂：直线、平面垂直的判定与性质例2】

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF//AC，AB=,CE=EF=1

（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;

证明：（Ⅰ）设AC与BD交于点G。

因为EF∥AG,且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形

所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG，因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形

所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,

所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.

又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

类型二、直线与平面垂直的性质

例2、如图所示，平面，点C在以AB为直径的⊙O上，，，点E为线段PB的中点，点M在上，且∥．

（Ⅰ）求证：平面∥平面PAC；

（Ⅱ）求证：平面PAC平面；

【解析】

（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，

     所以 ∥.                       

     因为 平面，平面，

     所以 ∥平面PAC.                  

因为 ∥，

     因为 平面，平面，

     所以 ∥平面PAC.                  

因为 平面，平面，，

所以 平面∥平面PAC.              

（Ⅱ）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，

所以 ，即.   

因为 平面，平面，

所以 .                     

因为 平面，平面，，

所以 平面.

因为 平面，

所以 平面PAC平面.              

【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。

（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。

举一反三：

【变式】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P-ABCD的体积。

【证明】（1）在ΔABD中，

（2）过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又ΔPAD是边长为4的等边三角形，∴PO=。

类型三、平面与平面垂直的判定

例3、如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.

（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；

（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由.

【解析】

（1）证明  因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BE.

又因为△ABC是正三角形，且E为AC的中点，

所以BE⊥CA.

又PA∩CA=A，所以BE⊥平面PAC.

因为BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC.

（2）取CD的中点F，则点F即为所求.

因为E、F分别为CA、CD的中点，所以EF∥AD.

又EF平面PEF，AD平面PEF，

所以AD∥平面PEF.

【总结升华】证明线面、面面平行与垂直问题注意要转化为线线的平行与垂直问题。

如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯 

形，∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA,G、H分别为FA、FD的中点.

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

（3）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.

方法一  (1)证明  由题设知,FG=GA,

FH=HD,所以GHAD.

又BCAD,故GHBC.

所以四边形BCHG是平行四边形.

(2)解  C、D、F、E四点共面.

理由如下：

由BEAF，G是FA的中点知，

BEGF，所以EF∥BG.

由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.

又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面.

（3）证明 如图，连接EG，由AB=BE，BE   AG及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA.

由题设知,FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED.

又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.

由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.

由(2)知CH平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.

举一反三：

【变式】如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为O.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）已知为侧棱上一个动点. 试问对于上任意一点，平面与平面是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由.

【解析】证明：（Ⅰ）因为四边形是正方形，，

所以O是，中点.

由已知，, ,

所以,,

又，

所以平面.     

（Ⅱ）对于上任意一点，平面平面.

证明如下：由（Ⅰ）知，

而，所以.

又因为四边形是正方形，所以.

因为，所以.

又因为，所以平面平面.

类型四、平面与平面垂直的性质及应用

例4如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使平面平面，连结，.（如图）

（Ⅰ）若为中点，求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：.

     图1                                图2   

【解析】

证明：（Ⅰ）取中点，连结．

           在△中，分别为的中点，

       所以∥，且．

          因为，

          所以∥,且，

       所以∥，且．                     

          所以四边形为平行四边形．

       所以∥．                                              

          又因为平面，且平面，

          所以∥平面．                                          

（Ⅱ） 取中点，连结.

因为，，

所以，而，即△是正三角形.

又因为, 所以. 

所以在图2中有.          

因为平面平面，平面平面，

所以⊥平面. 又平面，所以⊥. 

举一反三：

【变式】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.

(Ⅰ) 求四棱锥的体积；

(Ⅱ) 如果是的中点，

求证∥平面；

(Ⅲ) 是否不论点在侧棱的任何位置，

都有？证明你的结论．

【解析】（Ⅰ） ∵平面，∴

即四棱锥的体积为.           

（Ⅱ） 连结交于，连结．

∵四边形是正方形，∴是的中点．

又∵是的中点，∴．                                  

平面平面            ∴平面．                         

（Ⅲ）不论点在何位置，都有.        　　　   

证明如下：∵四边形是正方形，∴．      

∵底面，且平面，∴．      　

又∵，∴平面．                 　 

∵不论点在何位置，都有平面. 

∴不论点在何位置，都有.