2020届二轮复习直线与平面平行的性质教案（全国通用）
展开2020届二轮复习 直线与平面平行的性质 教案（全国通用）
重点难点
教学重点：直线与平面平行的性质定理.
教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.
课时安排
1课时
教学过程
复习
回忆直线与平面平行的判定定理：
（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
（2）符号语言为：
（3）图形语言为：如图1.
图1
导入新课
思路1.(情境导入)
教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？
思路2.(事例导入)
观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？
图2
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆空间两直线的位置关系.
②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.
③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.
④试证明直线与平面平行的性质定理.
⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？
⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.
活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.
问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.
问题③引导学生进行语言转换.
问题④引导学生用排除法.
问题⑤引导学生找出应用的难点.
问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.
讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.
②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.
怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
这个定理用符号语言可表示为：
这个定理用图形语言可表示为：如图3.
图3
④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b.
证明：
⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.
⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.
应用示例
思路1
例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
图4
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与面AC是什么位置关系？
活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.
分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.
解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，
图5
并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.
则EF、BE、CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.
由（1）知，EF∥B′C′，
所以EF∥BC.因此
BE、CF显然都与平面AC相交.
变式训练
如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.
图6
解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.
∵B∈a，∴B∈β.
又A∈β，∴ABβ.
同理ACβ，ADβ.
∵点A与直线a在α的异侧,
∴β与α相交.
∴面ABD与面α相交，交线为EG.
∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG,
∴BD∥EG.
∴△AEG∽△ABD.
∴.(相似三角形对应线段成比例)
∴EG=.
点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.
图7
已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外.
求证：b∥α.
证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.
∵a∥α,aβ,α∩β=c,
∴a∥c.
∵a∥b,∴b∥c.
∵cα,bα,∴b∥α.
变式训练
如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.
图8
证明：连接EH.
∵E、H分别是AB、AD的中点,
∴EH∥BD.
又BD面BCD，EH面BCD,
∴EH∥面BCD.
又EHα、α∩面BCD=FG,
∴EH∥FG.
点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.
思路2
例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.
图9
已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.
求证：c∥a∥b.
证明：
变式训练
求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
图10
已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，
求证：a∥b.
证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有
点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.
例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.
图11
证明：∵EFGH是平行四边形
变式训练
如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.
图12
（1）求证：EFGH是矩形；
（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.
(1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.
由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴四边形EFGH为矩形.
（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n,
∴.又CD=a,∴EF=.
由HE∥AB,∴.
又∵AB=b,∴HE=.
又∵四边形EFGH为矩形,
∴S矩形EFGH=HE·EF=.
点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.
知能训练
求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.
已知：a、b是异面直线.
求证：过b有且只有一个平面与a平行.
证明：(1)存在性.如图13，
图13
在直线b上任取一点A，显然Aa.
过A与a作平面β,
在平面β内过点A作直线a′∥a,
则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α,
∵bα，a与b异面，∴aα.
又∵a∥a′，a′α，∴a∥α.
∴过b有一个平面α与a平行.
(2)唯一性.
假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,
则bγ.∵A∈b，∴A∈γ.
又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″.
∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.
这与a′∩a″=A矛盾.
∴假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.
综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.
变式训练
已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.
证明：假设bα，如图14，
图14
设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).
又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.
∴假设错误.故bα.
拓展提升
已知：a,b为异面直线,aα,bβ,a∥β,b∥α,求证:α∥β.
证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c，则c与b相交于点P.
图15
变式训练
已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.
（1）求证：CD∥α;
（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.
（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,
图16
∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF.
又∵F为BD中点,
∴G为AD中点.
又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.
（2）解：由（1）证明可知：
∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=.
在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.
课堂小结
知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.
方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.
作业
课本习题2.2 A组5、6.
设计感想
线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点.本节的难点是应用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行，本节在选题时始终围绕这个中心展开，针对性强，因此这节课目的突出，是一个精彩课例.另外，本节总结了应用线面平行性质定理的口诀，对学生的学习一定有很大帮助.
