2020届二轮复习 三角函数的性质及其应用 教案(全国通用)
展开2020届二轮复习 三角函数的性质及其应用_ 教案(全国通用)
类型一、求函数(,)的单调区间
例1. 求函数的单调区间.
【思路点拨】利用正弦函数的单调区间,求出简单复合函数的单调区间.
【解析】解法一:化成.
∵的递增、递减区间分别为
(k∈Z),(k∈Z),
∴函数的递增、递减区间分别由下面的不等式确定,
,
即,
,
即,
∴函数的单调递减区间、单调递增区间分别为(k∈Z),(k∈Z).
解法二:可看作是由与复合而成的.
又∵为减函数,
∴由,
,
即为的递减区间.
由,
即得
,
即为的递增区间。
综上可知:的递增区间为;
递减区间为.
【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的两种方法.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解.
举一反三:
【变式1】求下列函数的单调递增区间.
(1),(2),(3).
【解析】
(1)∵,∴递增区间为:();
(2)画出的图象:
可知增区间为();
(3)函数在区间()上是增函数.
【变式2】利用单调性比较,,的大小:
【解析】
∵,,且
∴
类型二、三角函数的图象及其变换
例2.已知函数
(1)用五点法作出它的图象;
(2)指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间;
(3)说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到?
【思路点拨】化简,令,分别求出对应的值,再描点作图,注意图象变换的时候每一个变换总是对字母而言的.
【解析】(1).
列表描点绘图如下:
(2)如图可知,此函数的振幅是2,周期为,频率为,初相为.
单调增区间为 kZ ,
单调减区间为kZ.
(3)法一:
法二:
【总结升华】
①五点法作(,)的简图时,五点取法是设,由取0、、、、来求相应的值及对应的值,再描点作图;
②由的图象变换出的图象一般先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现,无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少;
③此处的难点是函数图象的平移,可以选择画出图象后观察;也可以直接由函数式子利用特殊位置点(如:首点、波峰、波谷等)的坐标判定,但其前提是两个函数的名称以及的系数是相同的.
举一反三:
【变式1】由的图象得到的图象需要向 平移 个单位.
【答案】左,;
【解析】∵,
∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位.
【变式2】试述如何由的图象得到的图象.
【解析】方法一:
.
方法二:
.
【变式3】若函数的图象上的每个点的纵坐标不变,将横坐标缩小为原来的,再将图象沿轴向右平移个单位,则新图象对应的函数式是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【变式4】画出函数在区间上的图象.
【解析】由知道:
x | 0 | |||||
y | -1 | 0 | 1 | 0 |
故函数在区间上的图象:
例3. 如图,它是函数的图象,由图中条件,写出该函数的解析式。
【思路点拨】结合图形易求得A,及.如何求呢?可以选择点的坐标代入函数解析式尝试一下,结合的范围求得.
【解析】 由图知A=5,
由,得
∴。此时。
下面介绍怎样求初相。
解法一:(单调性法)
∵点(π,0)在递减的那段曲线上,
∴。
由得,
∴。
∵,∴。
解法二:(最值点法)
将最高点坐标代入,得,
∴,∴。
又,∴。
解法三:(起始点法)
函数的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x正是由解得的。故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角。由图象易得,
∴。
解法四:(平移法)
由图象知,将的图象沿x轴向左平移个单位就得到本题图象,故所求函数解析式为
【总结升华】给出型的图象,求它的解析式,常从寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口,要从图象的升降找准第一个零点的位置,例3中的解法三是我们常选用的方法这一.
举一反三:
【变式】下图是函数(,)的图象.则、的值是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】C
【解析】由图象可得:
∵,由得,
由 ,得
∴ ()
由,得.满足时,或.
由此得到,.注意到,即,
因此,这样就排除了.
∴,
注意:因为函数是周期函数,所以仅靠图像上的三个点,不能完全确定A、、的值.本题虽然给出了,的条件,但是仅靠(0,1 )、两点,不能完全确定、的值.在确定的过程中,比较隐蔽的条件()起了重要作用.
类型三:奇偶性与对称性
例4.已知函数
(1)判断函数的奇偶性;(2)判断函数的对称性。
【思路点拨】正弦函数的定义域是,在考查与的关系;考查三角函数的对称性的时候,从对称轴和对称中心两个方面考虑.
【解析】(1)的定义域关于原点对称,
∵且,
∴函数不是奇函数也不是偶函数.
(2)∵令,则的图象的对称轴是,对称中心(),
∴函数的图象的对称轴是即()
由得(),
∴函数的图象的对称中心是().
【总结升华】①先求定义域并判断在数轴上关于原点对称,再经过等值变形尽量转化为一个角的一个三角函数式(),再判断其奇偶性.函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别,用定义法,换元法。
②对于()来说,对称中心与零点(平衡位置)相联系,对称轴与最值点(极值点)联系.
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性
(1); (2).
【解析】
(1)定义域关于原点对称,
又
∴ 函数为奇函数。
(2)∵从分母可以得出(),∴定义域在数轴上关于原点不对称。
∴ 函数为非奇非偶函数
【变式2】设函数的图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A