2020届二轮复习圆锥曲线高考选择填空压轴题专练课时作业（全国通用）
展开第四十二讲 圆锥曲线高考选择填空压轴题专练
A组
一、选择题
1．过抛物线： 上一点作两条直线分别与抛物线相交于， 两点，连接，若直线的斜率为1，且直线， 与坐标轴都不垂直，直线， 的斜率倒数之和为3，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】设直线 的斜率分别为 ，因为点 在抛物线 上，所以 ，故直线 的方程为 ，代入抛物线方程得 ，其解为 和 ，则 ，同理可得 ，则由题意，得 ，化简，得 , 故选D.
2．已知双曲线，抛物线， 与有公共的焦点， 与在第一象限的公共点为，直线的倾斜角为，且，则关于双曲线的离心率的说法正确的是（）
A. 仅有两个不同的离心率且 B. 仅有两个不同的离心率且 C. 仅有一个离心率且 D. 仅有一个离心率且
【答案】C
【解析】 的焦点为 ， 双曲线交点为，即 ，设 横坐标为 ，则 ， ，
可化为 ， ，
只有一个根在 内，故选C.
3．已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于为锐角三角形，则， ， ， 或，又，则 ，选.
4．已知是双曲线的左右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点,交另一条渐近线于点，且,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 到渐近线 的距离为 ，即有 ，则 ，在 中，
，化简可得 ，即有 ，即有 ，故选A.
5．焦点为的抛物线： 的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时， 必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．
6．设是双曲线的右顶点， 是右焦点，若抛物线的准线上存在一点，使，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的准线方程为,正好是双曲的右准线.由于AF= ,所以AF弦,圆心,半径圆上任取一点P, ,现在转化为圆与准线相交问题.所以,解得.填A.
7．中心为原点的椭圆焦点在轴上， 为该椭圆右顶点， 为椭圆上一点， ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设椭圆标准方程为，设P(x,y)，点P在以OA为直径的圆上。圆的方程： ，化简为， 可得。则所双可得，选B.
8．正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
由题可知其焦点为作倾斜角为与倾斜角为的直线，分别与抛物线相交天两点．如图，则均为正三角形．故本题答案选．
9．设为抛物线的焦点，曲线与相交于点，直线恰与曲线相切于点， 交的准线于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由解得，又对， ，所以，化简得，所以， ，故选B．
10．已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设抛物线上点的坐标为
圆心 与抛物线上的点的距离的平方：
令 ，
则 ，
由导函数与原函数的关系可得函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，函数的最小值为 ，
由几何关系可得： 的最小值为 .
本题选择A选项.
11．已知椭圆： （）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于， 两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】在椭圆中， 得，故，故椭圆的方程为，
设， ，由题意可知，当直线斜率不存在时， 可以为任意实数，
当直线斜率存在时，可设直线方程为，联立方程组，
得，∴， ，
使得总成立，即使得为的平分线，
即有直线和的斜率之和为0，即有，由， ，即有，
代入韦达定理，可得，化简可得，故选B.
二、填空题
12．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点， 是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】根据抛物线的对称性设，则，所以直线的方程为，由，取， ，所以直线的方程是，联立，解得点的横坐标，所以点在抛物线的准线上运动，当点的坐标是时， 最小，最小值是2.
13．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，由圆心可知， ，又，可知，且，由双曲线的定义得， ， 中， .
14．已知抛物线的焦点为，过抛物线上点的切线为，过点作平行于轴的直线，过作平行于的直线交于，若，则的值为__________．
【答案】
【解析】设 ，由 ，得 ，则当 时， ，所以过 且与 平行的直线方程为 ，代入 ，得 ，解得,故答案为 .
B组
一、选择题
1．两条抛物线， ，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线， 及其根轴交于三点，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线， 的根轴为，所以
，故选A．
2．已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴常为
,故选B.
3．设点分别为双曲线： 的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点，满足，点到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，可知是等腰三角形， 在直线的投影是中点，可得，由双曲线定义可得，则，又，知，可得，解得．故本题答案选．
4．已知椭圆： （）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于， 两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得椭圆方程为，很显然AB斜率不存在时，t可以为任意实数，
当直线的斜率存在时，设AB的方程为其中,
联立直线与椭圆的方程可得： ，
则：
由知直线PA与PB的斜率之和为0，则： ，
整理得： ,
故： ,
解得： .
本题选择A选项.
5．已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足， ，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
∴点 的轨迹为以为以点 为圆心，1为半径的圆，
， 越小， 越小，
结合图形知，当 点为椭圆的右顶点时，
取最小值 最小值是
故选：C．
6．如图，两个椭圆的方程分别为和（， ），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，外层椭圆方程为 ，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.
7．已知双曲线的左焦点是，离心率为，过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆在轴右侧交于点，若在抛物线上，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为 ，据题意，可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，解方程组 得 或 ．则 点的坐标为 ．又点在抛物线上，得．可化为 ，可知．故本题答案选
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点是 的准线 上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,因为，则过点的切线均过点，则，即是方程的两根，则，设直线的方程为，联立，得，则，即，则，即的面积的最小值为2；故选B.
9．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为A、B，虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据双曲线的性质可以得到， ， ， ，双曲线的渐近线方程，直线方程： ，联立得到，即点，所以是线段的中点，又因为，所以，而， ，故，因为，所以，因为，即，所以，故选C
10．已知为坐标原点， 分别是双曲线的左右焦点， 为的左顶点， 为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线与轴交点为， ，则的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】由可令,得.则,可得的方程为,令,知,又且,可得,所以,即.故本题答案选.
11．过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，可得弦长的坐标横坐标为，圆的半径为可得弦长为，设直线与抛物线的交横坐标为则，可得，故选A.
二、填空题
12．已知过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】设直线AC，BD的斜率分别为 ，则直线AC，BD的方程分别为： ，据此可得： ，
则： ，
直线CD的方程为： ，
整理可得：
直线与圆相切，则： ，
据此可得： ，
由于： ，
两式相乘可得：
即直线与的交点的轨迹方程为.
C组
一、选择题
1．已知是双曲线上的三个点， 经过原点, 经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】做出如图因为 经过原点, 经过右焦点, 可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得
2．已知圆： 和两点， ，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：
，
即的最小值为1.
本题选择D选项.
3．已知抛物线的焦点为，点．若射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，且，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意画图如下：
由，可得， 所以，可得， 得，代入，得。选D.
4．已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第一象限与双曲线交于点， 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过Q作QR⊥x轴与R，如图，由题意设F（c，0），则由OA=a得AF=c-a，将x=c代入双曲线得P，则直线AP的斜率为，所以直线AP的方程为，与渐近线联立，得x=，所以AR=，根据相似三角形及，得AF=）AR，即代入，得
5．已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设，则， ，于是，又，所以，所以， ，因此， ，直线斜率为，由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于， 两点，若， ，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】C
【解析】解：由题意可知： ，
由，可得： ，即 ，
由双曲线的定义可得： ，
取 的中点 ，连结 ，则： ，
由勾股定理可得： ，即：
，
整理可得： ，由双曲线的性质可得： ，
则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为 和 .
本题选择C选项.
7．已知双曲线（， ），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是双曲线通径， ，由题意，即， ，即，解得（舍去），故选D．
8．已知抛物线的焦点为，准线为， 为上一点， 垂直于点分别为， 的中点， 与轴相交于点，若，则等于（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】 分别是 的中点， ，且 轴， ，由抛物线定义知， 为正三角形，则 ，正三角形边长为 ， ，又可得为正三角形， ，故选C.
9．过双曲线： （， ）的左焦点作圆： 的切线，设切点为，延长交双曲线于，若点为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取双曲线右焦点,连接，由题意可知， 为直角三角形，且由勾股定理可知， ，选A.
10．已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线渐近线的方程为 ，圆心坐标为，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得 ，即 ，又因为离心率为 ，可得 ，所以抛物线的方程为 ，故选B.
11．已知双曲线的右顶点为为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若且,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图知是等边三角形，设中点是，圆的半径为，则， ， ，因为，所以， ，即，所以，即， ，从而得，故选B．
12．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设， ， 焦点为，由题意，即，所以，又， ， ， ， ，而，即， ， ， ，所以，故选C．
二、填空题
13．椭圆的左,右焦点分别为,,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于, 两点,则△的内切圆面积最大值是________.
【答案】
【解析】令直线： ，与椭圆方程联立消去得，可设，则， ．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填．
