搜索
    上传资料 赚现金
    2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案
    立即下载
    加入资料篮
    2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案01
    2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案02
    2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案03
    还剩8页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案

    展开
    第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4)


    年份
    卷别
    考查内容及考题位置
    命题分析
    2018
    Ⅰ卷
    极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系·T22
    1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.
    2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用.
    Ⅱ卷
    曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义·T22
    Ⅲ卷
    参数方程与直角坐标方程的互化·T22
    2017
    Ⅰ卷
    参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离·T22
    Ⅱ卷
    直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题·T22
    Ⅲ卷
    直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法·T22
    2016
    Ⅰ卷
    参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23
    Ⅱ卷
    极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系·T23
    Ⅲ卷
    参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23



    极坐标方程及应用

    授课提示:对应学生用书第67页

    [悟通——方法结论]
    1.圆的极坐标方程
    若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
    几个特殊位置的圆的极坐标方程:
    (1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
    (2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
    (3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin θ.
    2.直线的极坐标方程
    若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
    几个特殊位置的直线的极坐标方程:
    (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;
    (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
    (3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
    [全练——快速解答]
    1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
    (1)求C2的直角坐标方程;
    (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
    解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
    (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
    由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.
    由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
    当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.
    经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
    当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
    当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.
    经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;
    当k=时,l2与C2没有公共点.
    综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.
    2.(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
    (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
    (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
    解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
    由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
    由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
    因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
    (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
    由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积
    S=|OA|·ρB·sin∠AOB
    =4cos α·|sin|
    =2|sin-|
    ≤2+.
    当α=-时,S取得最大值2+.
    所以△OAB面积的最大值为2+.
    3.(2018·长春二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
    (1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
    (2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
    解析:(1)∵ρcos=1,
    ∴ρcos θ·cos +ρsin θ·sin=1.
    又∴x+y=1,
    即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0,
    令y=0,则x=2;令x=0,则y=.
    ∴M(2,0),N.
    ∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.
    (2)∵M,N连线的中点P的直角坐标为,
    ∴P的极角为θ=,
    ∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
    【类题通法】
    1.极坐标方程与普通方程互化技巧
    (1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.
    (2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.
    (3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.
    2.求解与极坐标有关的问题的主要方法
    (1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用.
    (2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.



    参数方程

    授课提示:对应学生用书第68页

    [悟通——方法结论]
    几种常见曲线的参数方程
    (1)圆
    以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.
    当圆心在(0,0)时,方程为其中α是参数.
    (2)椭圆
    椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
    椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
    (3)直线
    经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.
    [全练——快速解答]
    1.(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
    (1)求C和l的直角坐标方程;
    (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
    解析:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.
    当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,
    当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.
    (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①
    因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
    又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.
    2.(2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
    (1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
    (2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
    解析:(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
    当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

    解得或
    从而C与l的交点坐标为(3,0),.
    (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为
    d=.
    当a≥-4时,d的最大值为.
    由题设得=,解得a=8;
    当a<-4时,d的最大值为.
    由题设得=,
    解得a=-16.
    综上,a=8或a=-16.
    3.(2018·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).
    (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
    (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.
    解析:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.
    ∵x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
    ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.
    (2)将代入曲线C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.
    设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则.
    ∴|AB|=|t1-t2|===,
    ∴4cos2α=2,cos α=±,α=或.
    【类题通法】
    1.有关参数方程问题的2个关键点
    (1)参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化.
    (2)利用参数方程解决问题,关键是选准参数,理解参数的几何意义.
    2.利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题
    经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:
    (1)t0=;
    (2)|PM|=|t0|=;
    (3)|AB|=|t2-t1|;
    (4)|PA|·|PB|=|t1·t2|.



    极坐标方程与参数方程的综合应用

    授课提示:对应学生用书第69页

     (2017·高考全国卷Ⅲ)(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
    (1)写出C的普通方程;
    (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
    [规范解答] (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);
    消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
    (2分)
    设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).
    所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). (4分)
    (2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
    联立 (6分)
    得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
    故tan θ=-,
    从而cos2θ=,sin2θ=. (8分)
    代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
    所以交点M的极径为. (10分)
    【类题通法】
    解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法
    (1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.
    (2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简捷.
    (3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐含条件.
    [练通——即学即用]
    1.(2018·惠州模拟)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1,F2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
    (1)求直线AF2的极坐标方程;
    (2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M,N两点,求||MF1|-|NF1||的值.
    解析:(1)曲线C:可化为+=1,故曲线C为椭圆,
    则焦点F1(-1,0),F2(1,0).
    所以经过点A(0,)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x+=1,即x+y-=0,
    所以直线AF2的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=.
    (2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为l⊥AF2,所以直线l的斜率为,即倾斜角为30˚,所以直线l的参数方程为(t为参数),
    代入椭圆C的方程中,得13t2-12t-36=0.
    因为点M,N在点F1的两侧,所以||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=.
    2.(2018·长郡中学模拟)在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.
    (1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;
    (2)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.
    解析:(1)由(β为参数),消去参数β,得曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=8,
    ∴曲线M是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.
    (2)设|OA|=ρ1,|OC|=ρ2,
    ∵O,A,C三点共线,则|AC|=|ρ1-ρ2|=(*),
    将曲线M的方程化成极坐标方程,
    得ρ2-2ρ(sin θ+cos θ)-6=0,
    ∴代入(*)式得|AC|=.
    用θ+代替θ,得|BD|=,
    又l1⊥l2,∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|,
    ∴S四边形ABCD==2,
    ∵sin22θ∈[0,1],∴S四边形ABCD∈[8,14].



    授课提示:对应学生用书第143页

    1.已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin(θ+),直线l的直角坐标方程为y=x.
    (1)求曲线C1和直线l的极坐标方程;
    (2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A,B两点,若A,B的极径分别为ρ1,ρ2,求|ρ2-ρ1|的值.
    解析:(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数),
    其普通方程为x2+(y-1)2=1,极坐标方程为ρ=2sin θ.
    ∵直线l的直角坐标方程为y=x,
    故直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
    (2)曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ,
    直线l的极坐标方程为θ=,
    将θ=代入C1的极坐标方程得ρ1=1,
    将θ=代入C2的极坐标方程得ρ2=4,
    ∴|ρ2-ρ1|=3.
    2.(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数),圆C2:(x-2)2+y2=4,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
    (1)求C1,C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点);
    (2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为B(非坐标原点),求△OAB的最大面积.
    解析:(1)由(t为参数)得曲线C1的普通方程为y=xtan α,故曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-2)2+y2=4,得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.故交点A的坐标为(4cos α,α).
    (2)由题意知,B的极坐标为(2,).
    ∴S△OAB=|×2×4cos α×sin(-α)|=|2sin(2α-)-2|,
    故△OAB的最大面积是2+2.
    3.(2018·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,2),点C的极坐标为(3,),若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以点C为圆心,3为半径.
    (1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;
    (2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|.
    解析:(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数),
    圆C的极坐标方程为ρ=6sin θ.
    (2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9,
    把代入x2+(y-3)2=9,得t2+(-1)t-7=0,
    设点A,B对应的参数分别为t1,t2,∴t1t2=-7,
    又|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴|PA|·|PB|=7.
    4.(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ=4(cos θ+sin θ),P是C1上一动点,点Q在射线OP上且满足|OQ|=|OP|,点Q的轨迹为C2.
    (1)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程;
    (2)已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),l与曲线C2有且只有一个公共点,求φ的值.
    解析:(1)设点P,Q的极坐标分别为(ρ0,θ),(ρ,θ),则
    ρ=ρ0=·4(cos θ+sin θ)=2(cos θ+sin θ),
    点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ),
    两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),
    C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.
    (2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得
    (tcos φ+1)2+(tsin φ-1)2=2,即t2+2(cos φ-sin φ)t=0,t1=0,t2=2(sin φ-cos φ),
    由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,得sin φ-cos φ=0,
    因为0≤φ<π,所以φ=.







    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map