2019届二轮复习高考数学终极解题策略-点线面距离类问题学案（全国通用）

点线面距离类问题解题策略

空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.

空间中的距离主要指以下七种：

(1)两点之间的距离.

(2)点到直线的距离.

(3)点到平面的距离.

(4)两条平行线间的距离.

(5)两条异面直线间的距离.

(6)平面的平行直线与平面之间的距离.

(7)两个平行平面之间的距离.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.

在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.

求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.

求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.

一：两点间距离公式

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

在空间直角坐标系中，间的距离公式

二：点到直线的距离公式

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

三：点到平面的距离

1.     点到平面的距离:(定理)如图，设是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中则点P到平面的距离(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)
2.     等体积法：利用几何体的体积求法不同，点到面的距离转化为，求这个面对应的高的问题；

例：如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. 当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

解：法1（等体积转化）：设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，

故

法2：（向量法）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

从而，，

设平面ACD1的法向量为，

则也即，得，

从而，所以点E到平面AD1C的距离为

练习：如题图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：直线到平面的距离；

解法一（找出点到面的距离）:

平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离

在中，

由平面，得AD，从而在中，

。即直线到平面的距离为。

解法二: （向量法）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则

A(0,0,0)  C(2,2,0)  D(0,2,0)  设可得,由.即,解得  ∥，

面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而

,此即   解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.

,故有  ②   联立①,②解得, .   

为直线AB到面的距离.  而   所以

四：两条平行线间距离

公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝

五：两条异面直线之间的距离

1.求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

（4）利用不等式性质求出最小距离

2.异面直线间的距离:   (的公垂向量为,分别是上任一点).

【例1】  如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.

解：（找出公垂线）设AB中点为E，连CE、ED.

∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.

∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.

同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.

∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=.∴AB、CD的距离是.

［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.

解法一（找出公垂线）：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.

连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O

∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D

∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O

作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C

∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.

在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==

∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.

解法二（利用函数最值思想求最小距离即为异面直线间距离）：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，

∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1

∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x

∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，

∴MR=x,RN=NB1=

(0＜x＜1

∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.

练习：

1.

已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求：

(1)截面EAC的面积；

(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；

(3)三棱锥B1—EAC的体积.

2.

如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.

(1)求点A到平面B1BCC1的距离；

(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.

3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,

∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.

(1)求异面直线AD与PC间的距离；

(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.

答案：

1.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，

∵底面ABCD是正方形

∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD

∴EO⊥AC，即∠EOD=45°

又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a

(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1

∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线

又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a

∴D1D=a，∴A1B1与AC距离为a

(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC

∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=a

2.解：(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1

∴BB1⊥平面A1EF

即面A1EF⊥面BB1C1C

在Rt△A1EB1中，

∵∠A1B1E=45°，A1B1=a

∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a

同理A1F=a,又EF=a

∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°

过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1

即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离

∴A1N=

又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为

∴a=2，∴所求距离为2

(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.

∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N

∴B1C1⊥平面ADD1A1

∴BC⊥平面ADD1A1

得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，

若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°

∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.

3.解：(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC

从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.

过A作AE⊥PB，又AE⊥BC

∴AE⊥平面PBC，AE为所求.

在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a

∴AE=a

(2)作CM∥AB，由已知cosADC=

∴tanADC=,即CM=DM

∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a

过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=

下面在AD上找一点F，使PC⊥CF

取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形

∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°

∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.