第一类　三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名

三角函数类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.

【例1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin B＝.

(1)求b和sin A的值；

(2)求sin的值.

解　(1)在△ABC中，因为a>b，所以A>B，

因此0<B<，

故由sin B＝，可得cos B＝.

由已知及余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B＝13，

所以b＝.

由正弦定理＝，得sin A＝＝.(变式)

所以，b的值为，sin A的值为.

(2)由(1)及a<c，得cos A＝，

所以sin 2A＝2sin Acos A＝，

cos 2A＝1－2sin2A＝－.(变名)

故sin＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝.(变角)

探究提高1.(1)变式：利用正弦定理变为sin A＝.

(2)变名：利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.

(3)变角：把2A＋的三角函数表示为2A和的三角函数.

2.此类问题的求解策略：要注重三角知识的应用性，突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀.在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.

【训练1】 (2018·郑州质量预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝2C，2b＝3c.

(1)求cos C；

(2)若c＝4，求△ABC的面积.

解　(1)由已知及正弦定理得，2sin B＝3sin C.

∵B＝2C，∴2sin 2C＝3sin C，

∴4sin Ccos C＝3sin C，

∵C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cos C＝.

(2)∵c＝4，2b＝3c，∴b＝6.

∵C∈(0，π)，∴sin C＝＝，

sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝，

cos B＝cos 2C＝cos2C－sin2C＝，

sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)

＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.

∴S△ABC＝bcsin A＝×6×4×＝.