第五类　解析几何问题重在“设”——设点、设线

解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.

【例5】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.

解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.(设点)

于是直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由y＝，得y′＝.

设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).

设直线AB的方程为y＝x＋m，(设线)

故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.

从而|AB|＝|x1－x2|＝4.

由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，

解得m＝7.

所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.

探究提高　1.(1)设点：设出A，B两点坐标，并得出x1≠x2，x1＋x2＝4.

(2)设线：由(1)知直线斜率，再设直线方程为y＝x＋m，利用条件可求出m的值.

2.破解策略：解析几何的试题常要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等，常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y＝kx＋b、x＝my＋n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.

【训练5】 (2018·昆明教学质量检测)在直角坐标系xOy中，已知定圆M：(x＋1)2＋y2＝36，动圆N过点F(1，0)且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|·|OT|为定值.

(1)解　因为点F(1，0)在圆M：(x＋1)2＋y2＝36内，

所以圆N内切于圆M，则|NM|＋|NF|＝6>|FM|，

由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a＝6，c＝1，则a2＝9，b2＝8，

所以动圆圆心N的轨迹方程为＋＝1.

(2)证明　设P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)，

则B(x1，－y1)，由题意知x0≠±x1，

则kAP＝，直线AP的方程为y－y1＝kAP(x－x1)，

令y＝0，得xS＝，

同理，xT＝＝，

|OS|·|OT|＝|xSxT|＝

＝，

又P(x0，y0)和A(x1，y1)在椭圆＋＝1上，

故y＝8，y＝8，

则y－y＝(x－x)，

xy－xy＝8x－8x＝8(x－x)，

所以|OS|·|OT|＝＝＝9(定值).