2019届二轮复习第一讲创新应用与数学文化学案（全国通用）

第一讲　创新应用与数学文化

一、创新型问题

(类型一　设置“新运算”

“新运算”是指在现有的运算法则和运算律的基础上定义的一种新的运算，是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如“*”“⊗”“※”等，这些符号与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．“新运算”类问题的情境一般比较陌生，求解时需要坦然面对，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题．特别注意：新定义的算式在没有转化前，是不适合运用现有的运算法则和运算律进行计算的．

【例1】　定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2017＝1；(2)(2n＋2)※2017＝(2n)※2017＋3.则2018※2017＝________.

[解析]　设an＝(2n)※2017，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.

于是，数列{an}是等差数列，且首项为1，公差为3.

故2018※2017＝(2×1009)※2017＝a1009＝1＋1008×3＝3025.

[答案]　3025

注意到(2n)※2017与[2(n＋1)]※2017((2n＋2)※2017)结构相同，具体区别为前边是“n”，后边是“n＋1”，于是，可将它们看作某一数列的相邻两项，从而通过“换元”将不熟悉的“新运算”问题转化为熟悉的等差数列问题，这是求解本题的关键．

[创新预测]

1．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P⊗Q中元素的个数是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

[解析]　当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；

当a＝－1，b＝－2时，z＝；

当a＝－1，b＝2时，z＝－；

当a＝1，b＝－2时，z＝－；

当a＝1，b＝2时，z＝.

故P⊗Q＝，该集合中共有3个元素，所以选B.

[答案]　B

“新定义”试题是指给出一个未接触过的新规定、新概念，要求现学现用，其目的是考查阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质．此类型问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求先准确理解“新定义”的特点，再加以灵活运用．特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路．

【例2】　(2018·河南郑州一模)如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为________．

[解析]　从长方体ABCD—A1B1C1D1中任选四个顶点的选法有C＝70(种)，以A为其中一个顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有A—A1D1C1，A—A1B1C1，A—BB1C1，A—BCC1，A—DCC1，A—DD1C1，共6个．

同理，以B，C，D，A1，B1，C1，D1为其中一个顶点的三棱锥也各有6个，但所有列举的三棱锥均出现2次，所以四个面都是直角三角形的三棱锥有×8×6＝24(个)．

故所求的概率P＝＝.

[答案]　

本题以立体几何知识为背景，考查古典概型概率计算公式P(A)＝，形式较为新颖，有利于考查考生的阅读能力、审题能力和综合应用能力，其求解关键是正确理解新定义“三节棍体”，并根据长方体的对称性，利用列举法求解长方体中“三节棍体”的个数．

[创新预测]

2．设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.将函数f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，函数f(x)与g(x)＝－的图象的交点个数记为n，则定积分g(x)dx＝________.

[解析]　由题意可知，当0≤x<1时，[x]＝0，f(x)＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，……据此可画出函数y＝f(x)的图象，如图所示(显然该函数的图象具有周期性，最小正周期为1)．由图观察可知，当x∈(0,2)时，函数f(x)有1个零点．

由函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象可知两个函数的图象有4个交点，所以m＝1，n＝4.

故g(x)dx＝dx＝－|＝－.

[答案]　－

“新模型”试题指已知条件中给出具体的解题模型，需要学生将所给解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究．此类型问题要求学生现学现用，着重考查学生的阅读理解能力，接受能力，应变能力和创新、探究能力，有利于培养学生养成善于思考、勤于钻研的好习惯．特别提醒：紧扣“新模型”的思维本质，是解题的基本原则．

【例3】　若计算由曲线y＝及直线x＝1和x轴所围成的曲边三角形的面积时，可将区间[0,1]等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，其面积表示为·Δx(i＝1,2,3，…)．当区间[0,1]被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角形的面积，且面积S＝dx.类比曲边三角形面积的求法，计算曲线y＝及直线x＝1和x轴所围成的曲边三角形绕x轴旋转360°所成旋转体的体积，则体积V可以表示为(　　)

A.πdx   B.π()2dx

C.xdx   D.9π()2dx

[解析]　把区间[0,1]等分并无限细分后，在每段上经过360°旋转后的空间几何体可看作一个圆柱，其体积是π()2Δx(i＝1,2,3…)，所有这些圆柱的体积之和为所求的空间几何体体积的近似值，故所求体积V＝π()2dx.故选B.

[答案]　B

本题“新模型”的思维本质是通过无限细分，借助分割与组合思想及极限思想，将不规则图形的面积(或体积)用定积分来表示．

[创新预测]

3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(1,2,3)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________________________．

[解析]　由题意可设Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据⊥m，得·m＝0，所以(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简得x＋2y－z－2＝0.故所求平面方程为x＋2y－z－2＝0.

[答案]　x＋2y－z－2＝0

“新考查方向”试题是指试题考查的方式、方法与常规试题不同，此类试题设计新颖，注重对所学数学知识、方法的有效整合，侧重考查学生的综合运用能力．此类型问题的设置充分体现了考纲要求——对数学基础知识的考查，注重学科的内在联系和知识的综合性，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度；对数学能力的考查，强调“以能力立意”，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出学生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．

【例4】　已知三棱锥O—ABC，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝，OC＝1，P是△ABC内任意一点，设OP与平面ABC所成的角为x，OP＝y，则y关于x的函数的图象为(　　)

[解析]　设点O在平面ABC内的射影为O′，连接OO′，OP，O′P，根据等体积思想OO′＝＝.

因为∠OO′P＝，所以OP＝，即y＝.易知当点P在点A或点B位置时，x取得最小值，排除选项C、D.又在上，函数y＝单调递减且其图象为光滑曲线，所以排除选项A.选B.

[答案]　B

本题是立体几何中线面角与函数图象的综合试题，形式新颖，解题的关键是先根据等体积思想得到函数关系式，再灵活利用函数性质排除错误选项．

[创新预测]

4．(2018·河南郑州一模)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加全国高中数学联赛(河南预赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86.若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为(　　)

A.  B．2  C.  D．9

[解析]　由题意及茎叶图可知80＋x＝81，＝86，则x＝1，y＝4.

因为正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以2G＝a＋b，G2＝xy＝4，所以a＋b＝4，所以＋＝·＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当b＝2a＝时取等号．故选C.

[答案]　C

二、数学文化问题

数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．

【例1】　我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)．

[解析]　由题意得，蒲草的长度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的长度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．

[答案]　3

我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解．

[创新预测]

1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)

A．192里  B．96里  C．48里  D．24里

[解析]　依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96里．

[答案]　B

算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．

【例2】　(2018·兰州一模)3世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．下图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参数数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)(　　)

A．12  B．24

C．36  D．48

[解析]　按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B.

[答案]　B

更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社《数学必修3》(A版)第36页，第37页，第45页“算法案例”中出现．更相减损术、秦九韶算法和割圆术将是命题的热点．

[创新预测]

2．(2018·合肥联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝(　　)

A．0  B．5  C．45  D．90

[解析]　该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45.

[答案]　C

立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．

【例3】 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是(　　)

A．a，b   B．a，c

C．c，b   D．b，d

[解析]　当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.

[答案]　A

“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考查要经历分析、判断的逻辑过程．

[创新预测]

3．刍薨，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．薨，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨的字面意思为茅草屋顶．”下图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它(无底面且不考虑厚度)需要的茅草面积为(　　)

A．24  B．32  C．64  D．32

[解析]　由三视图易知，此几何体的表面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成(不考虑底面)，则搭建此几何体需要的茅草面积为S＝2××4×＋2××(4＋8)×＝32.故选B.

[答案]　B

三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．

【例4】　第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan＝________.

[解析]　依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，

于是有5sinθ－5cosθ＝1，

即有sinθ－cosθ＝.

从而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝，则sinθ＋cosθ＝，

因此sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝，

故tan＝＝－7.

[答案]　－7

1700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明．该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵，既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等．

[创新预测]

4．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝.若a2sinC＝4sinA，(a＋c)2＝12＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　)

A.  B．2  C．3  D.

[解析]　根据正弦定理，由a2sinC＝4sinA，得ac＝4.再结合(a＋c)2＝12＋b2，得a2＋c2－b2＝4，则S＝＝ ＝，故选A.

[答案]　A