2019届二轮复习解析几何的综合问题学案（全国通用）

考情速递：

（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

【解析】：（1）c==1，

∴F（1，0），

∵l与x轴垂直，

∴x=1，

由，解得或，

∴A（1.），或（1，﹣），

∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，

由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，

将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0

从而kMA+kMB=0，

故MA，MB的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

例1（2018•江门一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P不在x轴上，直线AP、BP的斜率之积kAPkBP=﹣．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设C是轨迹上任意一点，AC的垂直平分线与x轴相交于点D，求点D横坐标的取值范围．

【分析】（Ⅰ）设P（x，y），（y≠0），则，，由直线AP、BP的斜率之积kAPkBP=﹣，能求出动点P的轨迹方程．

（Ⅱ）设C（x，y），D（x0，0），依题意|AD|=|CD|，从而|x0+2|=+y2，进而2（x+2）x0=x2+y2﹣4，由X（x，y）在椭圆上，能求出点D横坐标x0的取值范围．

（Ⅱ）设C（x，y），D（x0，0），依题意|AD|=|CD|，

即|x0+2|=+y2，……（7分）

平方并移项整理得，2（x+2）x0=x2+y2﹣4，……（8分）

X（x，y）在椭圆上，∴=1（y≠0），即，且x≠±2．……（9分）

所以2（x+2）x0=﹣1，，……（11分）

因为﹣2＜x＜2，所以﹣，即点D横坐标x0的取值范围为（﹣，0）．……（12分）

例2（2018•濮阳二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，且该抛物线经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．

（Ⅰ）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程；

（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线交抛物线C于D，E两点，|ME|=2|DM|，求的最小值．

【分析】（I）判断抛物线开口得出焦点坐标，再求出直线方程；

（II）设直线DE的斜率为k，联立方程组得出k与m的关系，根据弦长公式和基本不等式可得结论．

【解析】（Ⅰ）由题意可知抛物线开心向右，

设抛物线方程为y2=2px（p＞0），把A（2，2）代入抛物线方程可得：4=4p，

即p=1，于是F．

又直线OA的斜率为1，故而所求直线斜率为﹣1，

∴所求直线方程为．

例3（2018年浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（2）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，由韦达定理即可得到结论；

（Ⅱ）由题意可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．

化简可得y1，y2为关于y的方程y2-2ny+8m-n2=0的两根，

可得y1+y2=2n，y1y2=8m-n2，

可得n=，

则PM垂直于y轴． 学  ]

（2）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，

可得m2+=1，-1≤m＜0，-2＜n＜2，

由（1）可得y1+y2=2n，y1y2=8m-n2， 学      

由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1-y2|

=（-m）•

=[•（4n2-16m+2n2）-m]•

=（n2-4m），

可令t==

=，

可得m=-时，t取得最大值；

m=-1时，t取得最小值2，

即2≤t≤，

则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，

△PAB面积的取值范围为[6，]．

 学  ]

例4（2018年上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P，Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．

（1）用t表示点B到点F的距离；

（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

（3）设t=8，是否存在以FP，FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】（1）方法一：设B（t，2t），

则|BF|==t+2，

∴|BF|=t+2．

方法二：由题意可知：设B（t，2t），

由抛物线的性质可知|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；

（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF==，kFQ=，

直线QF方程为y=（x-2），∴yQ=（8-2）=，Q（8，），

根据+=，则E（+6，）， 学    ]

∴（）2=8（+6），解得y2=，

∴存在以FP，FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．

变式训练题

（2018•四川模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．

所以，同理，

所以，，

所以kAB===，

所以AB的斜率为定值．

1（2018•济宁一模）已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．

（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；

（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，

显然△＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），

则，，

∴，．

∴=．

∴a2=8．

所以椭圆C的方程为．

由（1）知，，

∴．

∴m=4．

所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．

必刷题：

1（2017•潍坊二模）已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）

A．7 B．8 C．10 D．13

【答案】：A

【解析】圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（﹣6，﹣5），半径为2，圆C2的圆心坐标（2，1），半径为1，

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即：﹣3=7．

故选：A．

2（2018•晋城二模）若二次函数f（x）=k（x+1）（x﹣2）的图象与坐标轴的交点是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的顶点或焦点，则k=（　　）

A． B．± C． D．±   

【答案】：D

3（2018•陕西三模）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE=3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为　﹣1　．

【答案】-1

【解析】：由题意可得：F（0，1），E（0，3），

由x2=4y可得y=，y′=，

∴直线l的斜率为y′|=，直线ME的斜率为=，

∴•=﹣1，解得x0=±2，

不妨设M（2，1），则直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即y=x﹣1．

∴直线l在y轴的截距为﹣1．

故答案为：﹣1．

4（2018•黄山一模）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．

【解析】：（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形， 学    ]

∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，

∴椭圆方程为+=1．

∴x1=，∴y1=．

∴=（，）

∴=+==4．

B组

5．（2018•红桥区二模）点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0），与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线C1的焦点的距离为P，则双曲线C2的离心率等于（　　）   ]

A． B． C． D．

【答案】A

∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，

∴+=p；

∴=．

∴双曲线C2的离心率e===．

故选：A．

6.（2018•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　　；双曲线N的离心率为　2　．

【答案】；2．

同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，

可得：，即，

可得双曲线的离心率为e==2．

故答案为：；2．

7（2018•东莞市模拟）在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，若椭圆M：经过点F，抛物线C和椭圆M有公共点，且．

（1）求抛物线C和椭圆M的方程；

（2）是否存在正数m，对于经过点P（0，m）且与抛物线C有A，B两个交点的任意一条直线，都有焦点F在以AB为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）经过点，且．

所以，解得p=4，所以抛物线C：x2=8y，焦点F（0，2），

由题意知解得所以椭圆M：；

故抛物线C的方程为x2=8y，椭圆M的方程为．

因为，

所以

由题意知恒成立，

所以m2﹣12m+4＜16k2恒成立

因为k∈R，所以m2﹣12m+4＜0，解得

又因为m＞0，所以

故存在正数m适合题意，此时md 取值范围为．