2019届二轮复习利用函数解决实际问题学案(全国通用)
展开第13炼 利用数学模型解决实际问题
一、基础知识:
1、使用函数模型解决实际问题
(1)题目特点:叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个,但均能够用两个核心变量进行表示)。以其中一个为自变量,则另一个变量可视为自变量的函数,进而搭建出函数模型,再根据导数,均值不等式等工具求出最值
(2)需用到的数学工具与知识点:
① 分段函数:当自变量的不同取值导致解析式不同时,可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系,在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式,则通常要用分段函数进行表示。
② 导数:在求最值的过程中,若函数解析式不是常见的函数(二次函数,对勾函数等),则可利用导数分析其单调性,进而求得最值
③ 均值不等式:在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找到最值。
④ 分式函数的值域问题:可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函数求解
(3)常见的数量关系:
① 面积问题:可通过寻底找高进行求解,例如:
平行四边形面积底高 梯形面积(上底下底)高
三角形面积底高
② 商业问题:
总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本
③ 利息问题:
利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金
(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符,例如:涉及到个数时,变量应取正整数。涉及到钱,速度等问题,变量的取值应该为正数。
2、使用线性规划模型解决实际问题
(1)题目特点:叙述中也有两个核心变量,但条件多为涉及两核心变量的不等关系,且所求是关于两个核心变量的表达式,这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
(2)与函数模型的不同之处
① 函数模型:体现两核心变量之间的等量关系,根据一个变量的范围求另一个变量的范围(或最值)
② 线性规划模型:体现关于两变量的不等关系,从而可列出不等式组,要解决的是含两个变量的表达式的最值。
(3)解题步骤:根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量,其余变量用这两个进行表示),并列出约束条件和目标函数,然后利用数形结合的方式进行解决
(4)注意事项:在实际问题中,变量的取值有可能为整数,若最优解不是整数,则可在最优解附近寻找几对整点,代入到目标函数中并比较大小
3、使用三角函数模型解决实际问题
(1)题目特点:题目以几何图形(主要是三角形)作为基础,条件多与边角相关
(2)需要用到的数学工具与知识点:
① 正弦定理:设三边所对的角分别为,则有
② 余弦定理(以和对角为例),
③ 三角函数表达式的化简与变形
④ 函数的值域
(3)解题技巧与注意事项:
① 在求边角问题时,应把所求的边或角放在合适的三角形中
② 在直角三角形里,已知一条边,则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示
③ 在图形中要注意变量的取值范围
二、典型例题:
例1:如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求在 的延长线上,在的延长线上,且对角线过 点。已知米,米。
(1)设(单位:米),要使花坛的面积大于32平方米,求的取值范围;
(2)若(单位:米),则当的长度分别是多少时,花坛的面积最大?并求出最大面积。
(1)思路:根据相似三角形可得线段比例:,从而解出,则,从而可得,解出的范围即可
解:
依题意可得:
解得:
(2)思路:求面积的最大值,即求表达式的最大值,分离常数求解即可
解:设
设,则
则,根据对勾函数可得:时,达到最大值,即
此时,所以
答:当时,四边形的面积最大,为
例2:时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格:(单位:元/套)满足的关系式,其中为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求的值;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
解:(1)将代入关系式可得:
(2)思路:依题意可得售出一套,所得利润为元,所以总的利润,其中,利用导数判定的单调性,进而可求得最大值点
解:依题意所获利润
化简可得:
令,即解不等式
解得
在单调递增,在单调递减
在取得最大值,即
例3:某人销售某种商品,发现每日的销售量(单位:kg)与销售价格 (单位:元/kg)满足关系式,其中 为常数.已知销售价格为8元/kg时,该日的销售量是80kg.
(1)求的值;
(2)若该商品成本为6元/kg,求商品销售价格为何值时,每日销售该商品所获得的利润最大.
解:(1)当时,,解得:
(2)思路:依题意可得销售商品所获得利润,所以也是一个分段函数,可以考虑分别求出每段函数值的最大值,然后进行比较即可挑出的最大值。
解:设商品利润为,则有,由第(1)问可得:
当时,
则
令,由 解得:
在单调递增,在单调递减
当时,
在单调递减
例4:已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为元/千克,每次购买配料需支付运费236元,每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下:7天以内(含7天),无论重量度搜好,均按10元/天支付,超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天0.03元/千克支付
(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用是多少元?
(2)设该厂天购买一次配料,求该厂在这天中用于配料的总费用(元)关于的函数关系式,并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
解:(1)第8天剩余配料为(千克)
第9天剩余配料为千克
该厂用于配料的保管费为:(元)
(2)当时,
当时,
综上所述:
设为平均每天支付的费用,则
当时,,当时,
当时,
等号成立条件:
(元)
例5:甲,乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位同学的往返车费是5元,每人可为3位老人服务,乙校每位同学往返车费是3元,每人可为5位老人服务,两校都有学生参加,甲校参加活动的学生比乙校至少多1人,且两校同学往返总车费不超过45元,如何安排甲,乙两校参加活动的人数,才能使收到服务的老人最多?此时受到服务的老人最多有多少人?
思路:本题涉及的变量有两个:甲校人数与乙校的人数,且所给条件均为关于两校人数的不等式,所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为,乙校人数为,所求问题为目标函数,列出约束条件后通过数形结合即可求出的最大值
解:设甲校人数为,乙校人数为,依题意,应满足的条件为:
目标函数,通过数形结合可得。动直线经过时,取得最大值
例6:如图,某海滨浴场的岸边可近似地看成直线,位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救,救生员没有直接从A处游向B处,而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处,然后游向B处,若救生员在岸边的行进速度为6米/秒,在海中的行进速度为2米/秒,。
(1)分析救生员的选择是否正确;
(2)在AD上找一点C,使救生员从A到B的时间为最短,并求出最短时间
解:(1)思路:所谓“选择是否正确”,是指方案二所用的时间是否比直接游到处时间短,所以考虑分别求出两种方案所用的时间,再进行比较即可。
解:从图形可得:,所以(s)
而,所以(s)
,所以救生员的选择是正确的
(2)思路:要求得时间的最值,考虑创设一个变量 ,并构造出时间关于的函数 ,再求出的最小值即可。不妨设,则,所以时间,再求导求出的最小值即可
解:设,则,设所用时间为
令,即解不等式
,解得:
在单调递减,在单调递增
(秒)
答:当时,救生员所用的时间最短,为秒
答:甲,乙两校参加活动的人数分别为6和5时,受到服务的老人最多,最多为43人
例7:某人有楼房一幢,室内面积共计180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15m2,可以住游客3名,每名游客每天住宿费50元;装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天能获得最大的房租收益?(注:设分割大房间为间,小房间为间,每天的房租收益为元),求各为多少时,每天能获得最大的房租收益?每天能获得最大的房租收益是多少?
思路:本题的主要变量是,从题目中可发现对的约束条件有3个,一个是房间数必须是非负整数,所以,第二个条件是室内面积为,所以大小房间面积和要不大于,第三个条件是装修费用总和不高于8000元,据此列出约束条件:,所求收益,所以该模型为线性规划问题,数形结合即可。
解:依题意可得对的约束条件为:
,所求目标函数为
作出可行域,依图可得:直线过或时,最大,即
答:当大房间为3间,小房间为8间;或者不设大房间,小房间为12间时,收益最大,最大值为元
例8:某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是的圆面,该圆面的内接四边形是原棚户建筑用地,测量可知边界万米,万米,万米
(1)请计算原棚户区建筑用地的面积及圆面半径的值
(2)因地理条件的限制,边界不能变更,而边界可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧上设计一点,使得棚户区改造的新建筑用地的面积最大,并求最大值
解:(1)在中,由余弦定理可得:
①
在中,由余弦定理可得:
②
因为四边形内接于圆
所以由①②可得:
解得:
(万平方米)
由余弦定理可得:
(2)设,可知
由(1)可知 若要面积最大,只需最大
在中,由余弦定理可得:
即
,即当且仅当时,等号成立
所以四边形的最大面积为万平方米
例9:如图是一块平行四边形园地,经测量,,拟过线段上一点设计一条直路(点在四边形的边上,不计路的宽度),将该园地分为面积比为的左,右两部分,分别种植不同的花卉,设(单位:m)
(1)当点与点重合时,试确定点的位置
(2)求关于的函数表达式
(3)试确定点的位置,使得直路长度最短
解:(1)当与重合时,(设为平行四边形的高)
依题意可得:即
即为的中点
(2)在线段上
当时,可得在线段上
在中
当时,点在线段上,此时四边形为梯形或平行四边形
,由得:
当时,
当时,
即
综上所述可得:
(3)即求的最小值
当时,
等号成立条件:
当时,
等号成立条件:
,此时
例10:如图,在海岸线一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段,该曲线段是函数的图像,图像的最高点为,边界的中间部分为长1千米的直线段,且∥,游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧
(1)求曲线的函数表达式
(2)曲线段上的入口距海岸线最近距离为千米,现准备从入口,修一条笔直的景观路到,求景观路的长度
(3)如图,在扇形区域内建一个平行四边形休闲区,平行四边形的一边在海岸线上,一边在半径上,另外一个顶点在圆弧上,且,求平行 四边形休闲区面积的最大值及此时的值
解:(1)由可知,
对于,
此时,由图像过可得:
曲线的函数表达式为
(2)由已知可得
或
解得:或,由可得:
(3)由图可知,
过作轴于
在中
在中
时,的最大值为