2019届二轮复习解题技巧圆锥曲线方程及几何性质学案（全国通用）

第13讲　圆锥曲线方程及几何性质

专 题 探 究　【p49】
【命题趋势】
圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇在一起进行命题，综合性强，体现了在知识的交汇点处命题的原则，新课标全国卷有关圆锥曲线模块的命题一般是“一大两小”，以2道小题考查圆锥曲线的定义，离心率，标准方程以及几何性质，其中有关双曲线的考查大都是客观题，以一道解答题(大题)的某小问在直线与圆锥曲线位置关系的情境中考查圆锥曲线方程的求法．而解答题一般涉及椭圆或抛物线．预计高考对本节知识的考查体现在：圆锥曲线内部综合，即以选择题、填空题的形式考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，特别是求离心率、焦点关系等．以解答题形式考查主要是解答题的第一问，求最值及过定点问题．
【备考建议】
圆锥曲线的几何性质一直是高考命题的热点内容之一，小题与解答题均有考查，往往具有信息量大、思维量大、运算量大的特点．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；而且要求考生要有不怕困难的精神，良好的心理品质，细心认真的态度，有较强的运算能力．要善于观察、发现题目的特点，根据圆锥曲线各基本量的几何特征，运用数形结合，分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化等思想方法简化计算．
典 例 剖 析　【p49】
探究一　圆锥曲线的定义及应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B．3 C. D.
【解析】选A.
依题设P在抛物线准线的射影为P′，抛物线的焦点为F，则F，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.故选A.
(2)已知椭圆＋＝1(0 A．3 B．2 C．1 D.
【解析】选A.
根据椭圆定义，＋＋＝4a＝12，
∵|AF2|＋|BF2|的最大值为10，∴的最小值为2，
∴＝＝＝2，解得m＝3.故选A.
(3)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2＋1 D.＋1
【解析】选D.
易知∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F1PF2＝90°，∴＝c，＝c.由双曲线定义知2a＝－＝(－1)c，∴e＝＋1.故选D.
【点评】涉及到圆锥曲线上的点与焦点的距离一般用定义转化化简，最值问题须充分注意动点坐标的取值范围．
探究二　圆锥曲线标准方程及应用
例2 (1)[2017·天津卷]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
【解析】选D.
由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，c＝2，
∴解得
∴双曲线的方程为x2－＝1.故选D.

(2)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.
(ⅰ)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(ⅱ)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
【解析】(ⅰ)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2.
即c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(ⅱ)方法一：连接F1Q，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则＋＝1，x＋y＝c2，
求得x0＝±，y0＝±.
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，
从而|PF1|2＝＋
＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|，
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，
解得e＝＝－.
方法二：连接F1Q，如图，由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.

从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，
因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，得|PF1|＝2(2－)a，
从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，
因此e＝＝
＝＝＝－.
探究三　圆锥曲线几何性质及应用
例3 (1)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
【解析】选A.
若椭圆的焦点在x轴上，则有a2＝3，b2＝m(0＜m＜3)，当点M为椭圆短轴的端点时，此时∠AMB最大，根据椭圆的对称性，只需满足tan∠AMO＝≥tan 60°＝(其中O为坐标原点)，即≥，得0＜m≤1；若椭圆的焦点在y轴上，则有a2＝m(m＞3)，b2＝3，同理可得m≥9.故选A.
(2)[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.
因为△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，所以PF2＝F1F2＝2c，
由AP斜率为得，tan∠PAF2＝，∴sin∠PAF2＝，cos∠PAF2＝，
由正弦定理得＝，
所以＝＝＝，∴a＝4c，e＝，选D.
例4已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，原点到过点A(a，0)，B(0，－b)的直线的距离是.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上一动点P关于直线y＝2x的对称点为P1，求x＋y的取值范围．
(3)如果直线y＝kx＋1(k≠0)交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．
【解析】 (1)因为＝，a2－b2＝c2，所以a＝2b.
因为原点到直线AB：－＝1的距离d＝＝，解得a＝4，b＝2.　
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为点P关于直线y＝2x的对称点为
P1，　
所以解得x1＝，
y1＝.
所以x＋y＝x＋y.
因为点P在椭圆C：＋＝1上，所以x＋y＝x＋y＝4＋.
因为－4≤x0≤4，所以4≤x＋y≤16.所以x＋y的取值范围为.
(3)由题意消去y ，整理得(1＋4k2)x2＋8kx－12＝0.可知Δ>0.
设E(x2，y2)，F(x3，y3)，EF的中点是M(xM，yM)，　
则xM＝＝，yM＝kxM＋1＝.
所以kBM＝＝－.所以xM＋kyM＋2k＝0.
即＋＋2k＝0.又因为k≠0，所以k2＝.所以k＝±.
【点评】圆锥曲线的几何性质是指：范围、对称性、顶点坐标、“a，b，c，p”的几何意义及相互关系．
规 律 总 结　【p50】
1．圆锥曲线的定义是一个重要考点，在解答题中有广泛的应用，对圆锥曲线定义的理解注意以下几点：
①定义中对常数2a是有范围要求的，椭圆中要求2a>|F1F2|，而双曲线中则要求2a<|F1F2|.
②抛物线定义中，定点F不能在定直线l上．
③利用抛物线的定义解题是一种重要题型，其实质是通过抛物线的定义实现一种转化，即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化．
④用圆锥曲线的定义求轨迹方程是一种重要的方法．
2．圆锥曲线标准方程及应用
①求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定位，后定量”．所谓“定位”，是指确定类型，也就是确定焦点所在的坐标轴，从而设出相应的标准方程的形式；“定量”就是指利用待定系数法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入所设的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
②根据圆锥曲线的方程求基本量时，必须先把方程化为标准方程的形式再进行求解计算．
③椭圆的标准方程中a≠b，应特别注意这一条件，若a＝b，则方程表示圆．
3．椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度和双曲线开放程度，求解圆锥曲线离心率是高考的热点．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题设结合椭圆或双曲线的几何特征，建立关于参量c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．
4．与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种方法：(1)利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)解出参数的范围；(2)把参数作为一个函数，求出函数解析式，通过讨论函数的值域求参数的范围．
5．解决圆锥曲线的最值问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
高 考 回 眸　【p50】
[2018·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3 C．2 D．4
【解析】选B.
因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－3)，
由得所以M，
所以|OM|＝＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
【命题立意】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与直线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
[2018·全国卷Ⅲ]设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
【解析】选C.
∵|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.
在Rt△POF2中，cos θ＝＝；
∵在△PF1F2中，cos θ＝＝，
∴＝⇒b2＋4c2－6a2＝4b2⇒4c2－6a2＝3c2－3a2⇒c2＝3a2⇒e＝.
【命题立意】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．
考点限时训练　【p135】
A组　基础演练
1．[2017·天津卷]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】选B.
由离心率为知该双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为y＝±x.又∵过F和P(0，4)的直线与双曲线的渐近线平行，∴c＝4，a＝b＝2.故选B.
2．已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为(O为坐标原点)(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
【解析】选C.
由抛物线定义知，点P(4，±4)，则△PFO的面积为2.故选C.
3．椭圆E：＋＝1的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点．若△FAB周长的最大值是8，则m的值等于(　　)
A．0 B．1
C. D．2
【解析】选B.
设椭圆的左焦点F′，则△FAB周长＝AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1，0)时，△FAB周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B.
4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，2]
C．[0，2] D．(0，2)
【解析】选B.
设点Q的坐标为.
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即y＋≥a2，
整理，得y(y＋16－8a)≥0.
∵y≥0，∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恒成立，
而2＋的最小值为2，∴a≤2，故应选B.
5．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
【解析】5
令－＝0，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
6．若F(c，0)为椭圆C：＋＝1的右焦点，椭圆C与直线＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝c上，则椭圆的离心率为________．
【解析】
∵直线＋＝1在x，y轴上的截距分别为(a，0)，(0，b)，所以A(a，0)，B(0，b)，又线段AB的中点在直线x＝c上，所以c＝即e＝＝.
7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
【解析】6
由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，
所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以|AB|＝，则|AF|＝|AB|＝，
所以＝sin ，即＝，解得p＝6.
8．已知P是椭圆＋＝1上一点，Q、R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是________．
【解析】9
设F1、F2为椭圆的左右焦点，则F1、F2分别为两已知圆的圆心，
则|PQ|＋|PR|≥＋＝|PF1|＋|PF2|－1＝9，故应填9.
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
【解析】(1)根据c＝及题设知M，
由kMN＝得2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)，
故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.　①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.　②
将①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
10．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【解析】(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x，抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为y1＋－2x1＝
＝
＝
＝＝0，
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点．
B组　能力提升
11．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________．
【解析】 2
因为a＝1，b＝，所以c＝，所以e＝＝＝，解得m＝2.
12．[2018·北京卷]已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
【解析】－1，2
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c＋c，再根据椭圆定义得c＋c＝2a，所以椭圆M的离心率为＝＝－1.
双曲线N的渐近线方程为y＝±x，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，∴＝＝3，∴e2＝＝＝4，∴e＝2.
13．已知点A(1，1)，点E(－2，0)，点P是圆F：(x－2)2＋y2＝36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记作曲线C，N为曲线C上任意一点，则＋的最大值为________．
【解析】＋12
由题意得曲线C方程为＋＝1，故点E(－2，0)为曲线C的左焦点，＋≤＋＋6＝＋6－＋6≤＋12＝＋12.
14．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的长轴长是4，椭圆C2：＋＝1(m>n>0)短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点．
(1)求椭圆C1，C2的方程；
(2)过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．

【解析】(1)设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c′.由已知a＝2，b＝m，n＝.
∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即＝，
∴＝，即＝
∴＝，即bm＝b2＝an＝1，∴b＝m＝1，
∴椭圆C1的方程是＋y2＝1，椭圆C2的方程是y2＋＝1；
(2)显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：x＝my－.
联立：，得y2＋4(my－)2－1＝0，
即(1＋4m2)y2－8my＋11＝0，
∴Δ＝192m2－44(1＋4m2)＝16m2－44＞0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
∴|MN|＝2，
△F2MN的高即为点F2到直线l：x－my＋＝0的距离h＝＝.
∴△F2MN的面积S＝|MN|h＝2＝，
∵＋≥2＝4，等号成立当且仅当＝，即m＝±时，
∴S≤＝，即△F2MN的面积的最大值为.