2019届二轮复习正余弦函数图像及其性质学案（全国通用）


正弦、余弦函数的图像与性质




知识梳理





正余弦函数的图像
正余弦函数的图像和性质

正余弦函数的值域和最值

正余弦函数的其他性质



例题解析




一、正余弦函数的图像
（一）知识精讲
1、正弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，则有，向线段叫做角的正弦线.
2、用单位圆中的正弦线作正弦函数，的图象（几何法）：


3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数，的图象中，五个关键点是：

然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。
4、正弦函数的图像：
把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。

5、余弦函数的图像：


（二）典型例题
【例1】画出下列函数在上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称轴等相关结论
（1） （2） （3）
【难度】★
【答案】如图
【解析】(1) 第一步——列表（见下表）

第二步：描点、作图（见右上图）

(2) 第一步——列表（见下表）

第二步：描点、作图（见右上图）

（3）令，则
当取时，可相应取得和的值，得到“五点”，再描点作图.





【例2】用五点作图法作函数在上的图象
【难度】★
【答案】如图
【解析】(1) 第一步——列表（见下表）

第二步：描点、作图（见右上图）



【例3】－1
y
x
0
1
1
－1
y
x
－1
1
0
0.5 1
－1
已知函数的图像的一部分如下方左图，则下方右图的图像所对应的解析式为（ ）






【难度】★
【答案】

【例4】正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____,
递增区间是_____________________，递减区间是______________________．
对称轴是______________,对称中心是_____________；
【难度】★
【答案】定义域是，最大值1，最小值-1，周期，单调增区间
单调减区间, 对称轴方程：对称中心：

【例5】定义函数，根据函数的图像与性质填空：
(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值；
(3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，.
【难度】★★
【答案】(1) ;(2) ; (3) ; (4)

【例6】求函数y＝－cosx的单调区间
【难度】★★
【答案】单调增区间为
单调减区间为

【例7】求下列函数的定义域与值域
（1） （2）
【难度】★★
【答案】定义域为R，值域是
定义域为，值域为.
【解析】(1)∵的定义域为，值域是；∴的定义域应是，即，值域是；
(2)虽然的定义域为，值域是.但本题中作为二次根式的被开方数，所以，即.根据余弦比的符号可求得求值范围，并由，可得函数值域.


【巩固训练】
1、已知函数,用“五点法”作出它在一个周期内的图像;
【难度】★
【答案】令，则。列表并描点作图，
得


2、已知函数,用五点法作出函数的图像;
【难度】★
【答案】列表描点作图




3、函数的部分图像是( )

【难度】★
【答案】

4、余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____,
递增区间是_____________________，递减区间是______________________．
对称轴是__________________,对称中心是____________；
【难度】★
【答案】定义域是，最大值1，最小值-1，周期，递增区间是单调增区间为
，递减区间是;对称轴，对称中心.

5、判断函数的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.
【难度】★★
【答案】，为偶函数，单调递增区间为，单调递减区间为.

6、设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于（ ）
A． B．－ C．－ D．－2
【难度】★★
【答案】D


二、正余弦函数的值域与最值
（一）知识精讲
1、正、余弦函数定义域： 和的定义域都为R。
2、正、余弦函数定义域： 和的值域都为。
对于函数，当且仅当取最大值；
当且仅当取最小值。
对于函数，当且仅当取最大值；
当且仅当取最小值。




（二）典型例题
【例8】要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1） （2）
【难度】★
【答案】（1）由
当时，式子有意义.
（2）由
即
当时，式子有意义.

【例9】求下列函数的最大值，以及取得最大值时的x值
（1） y=sinx+cosx （2）y=asinx+b
【难度】★★
【答案】（1）（分析：这个函数不是sinx或cosx型函数，而是asinx+bcosx型）
∴y=sinx+cosx=sin()≤，当时取“=”，
即当x=2kπ时，ymax=
（2）显然|sinx|≤1，∴|asinx|≤|a| 即asinx≤|a|
∴asinx+b≤|a|+b；
当a>0时，asinx+b≤a+b当sinx=1即x=2kπ+时取“=”
∴此时，当x=2kπ+时，ymax=a+b
当a<0时，∴当x=2kπ+时，ymax=-a+b （以上K∈Z）

【例10】求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
（1） y=sin(3x+)-1 (2)y=sin2x-4sinx+5 (3) y=
【难度】★★
【答案】(1) x= (kÎZ)时ymax=0
(2)当x=2kp- kÎZ时ymax=10
(3) 当x=2kp+p kÎZ时 ymax=2

【例11】求下列函数的值域
（1） （2）（3）
【难度】★★
【答案】（1）（2）（3）
【解析】解：（1），由，
故，。
（2），
令，由，，则，
当，即时，. 当，即时，.
所以.
（3） ，由得
解得所以函数的值域是

【例12】已知函数，，求的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】 .
因为，所以.
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最小值为。


【巩固训练】
7、求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
(1)y＝cosx＋1，x∈R；
(2)y＝sin2x，x∈R。
【难度】★★
【答案】 (1)函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2此时
(2)函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1。此时

8、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
【难度】★★
【答案】当k>0时
当k<0时 （矛盾舍去）

9、函数的最大值为 .
【难度】★
【答案】9
【解析】
又，结合函数解析式，当且仅当时，

10、函数的值域为 .
【难度】★★
【答案】
【解析】
又

11、函数的最大值为_________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
，由三角函数有界性得

12、已知求的最大值及此时的集合．
【难度】★★
【答案】最大值为，此时的集合为．
【解析】解：
∵，
∴当时， ．此时，即．
所以的最大值为，此时的集合为．



三、正余弦函数的其他性质
（一）知识精讲
正余弦函数的性质与图像



函数


定义域


值域


有界性
有界函数
有界函数
奇偶性
奇函数
偶函数
对称性
对称轴方程：
对称中心：
对称轴方程：
对称中心：
周期性
周期函数
周期函数
单调性
单调增区间
单调减区间
单调增区间

单调减区间
最值性


周期函数：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期
由此可知都是这两个函数的周期
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是

注意：
1.周期函数定义域，则必有, 且若，则定义域无上界；则定义域无下界；
2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数;
3.往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

（二）典型例题
【例13】利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的的集合：


【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）作出正弦函数的图像：
由图形可以得到，满足条件的的集合为：
（2）作出余弦函数的图像：
由图形可以得到，满足条件的的集合为：

【例14】求下列函数的定义域
（1） （2）（3）
【难度】★★
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】（1）由得：，结合数轴得：
所求函数的定义域为：.
（2）因且，则.
（3） .

【例15】求下列函数的周期
（1） （2） （3）y=Asin(ωx+)(A≠0，ω>0)
（4）y=|sinx|+|cosx|
【难度】★★
【答案】（1）∵，故只有当自变量x增加到x+4π，且必须增加到x+4π时，函数的值才重复出现。
∴的周期为4π。
（2）∴， ∵
∴的周期为2π
（3）∵sin(ωx++2π)=
∴的周期为
（4）∴

∴函数的周期即函数cos4x的周期
∵
∴函数的周期为。

【例16】判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
【难度】★
【答案】（1）非奇非偶 （2）既是奇函数又是偶函数


【例17】求列函数的单调增区间
（1） （2） （3） （4） .
【难度】★★
【答案】 (1) (2)
(3) （） (4)（）

【例18】（1）函数的对称轴方程是
（2）若函数的图像关于对称，则

【难度】★
【答案】（1）， （2）

【例19】求函数的单调递增区间.
【难度】★★
【答案】∵ 令 ∴
是的增函数 又 ∵
∴ 当为单调递增时为单调递减 且
∴
∴ ，
∴ 的单调递减区间是

【例20】已知函数．
（1）求函数的最小正周期，最大值及取最大值时相应的值；
（2）如果，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】(1); 当，时，取得最大值2.
(2)
【解析】（1）
，所以的最小正周期等于．
当，时，取得最大值2.
（2）由，得，，
的值域为

【例21】设
（1）求当时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．
（2）求最小正整数，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】（1）， （2）

【例22】（1）取何值时，方程无解？有一解？有两解？有三解？
（2）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）或时无解；时一解；或时有两解；时三解；（2）定义域为；值域为；周期为；偶函数；增区间：；减区间：．


【巩固训练】
13、在下列四个函数中，周期为的偶函数为 （　 　）
. .
. .
【难度】★
【答案】B

14、（1）函数的图像关于轴对称，则= _______________
（2）函数为奇函数，则
【难度】★★
【答案】（1）.（2）

15、函数图像的一条离直线最近的对称轴方程是 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】由得： ， 故而离直线最近的对称轴方程是

16、函数的单调递增区间__________
【难度】★★
【答案】
【解析】，由得：
，在数轴上与取交集得：函数在上单调递增。

17、已知函数．
求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．
【难度】★★
【答案】（1） （2）（）．
【解析】．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．

18、已知函数（1）求的最小正周期及取得最大值时的集合；（2）求证：函数的图像关于直线对称．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）；；（2）提示：证明．

19、已知函数，．
（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；
（2）当时，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）非奇非偶函数．（2）
【解析】
（1） ，
是非奇非偶函数．
（2）由，得，．
所以．即．


反思总结




熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图形特点：
三角函数


定义域


值域


奇偶性
奇函数
偶函数
周期性


单调性
在上递增
在上递减
在上递增
在上递减
最值
时，最大值1
时，最小值
时，最大值1
时，最小值
图像





课后练习




1、已知函数，
⑴讨论函数的奇偶性 ⑵求当取最大值时，自变量的取值集合.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）若，则函数是偶函数，若则函数既不是奇函数也不是偶函数
（2） 若，则函数的最大值为，此时
若，则函数的最大值为，此时

2、、已知是实数，则函数的图像不可能是 （ ）



【难度】★★
【答案】D

3、函数的最大值为 .
【难度】★★
【答案】
【解析】
当且仅当时，

4、求函数的值域．
【难度】★★
【答案】
【解析】解：
∵ =∵，
∴，∴．

5、求函数的最小值．
【难度】★★
【答案】
【解析】解：设则，
所以＝，当时，有最小值.

6、函数的单调递增区间为 ．
【难度】★★
【答案】

7、函数的最小正周期是__________.
【难度】★★
【答案】

8、已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
【难度】★★
【答案】（1）的最小正周期为（2）最大值为，最小值为．
【解析】解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
y
x
O








解法二：作函数在长度为一
个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．

9、已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（2）求函数的单调递增区间．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．所以．当为偶数时，，当为奇数时，．
（2）
．
当，即（）时，
函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．

10、若函数f(x)=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，且a>0，求a，b的值
【难度】★★
【答案】解：∴f(x)=1-sin2x-asinx+b=-(sinx+)2++b+1
∵a>0 ∴>0
①若时，当sinx=-1时，fmax=a+b
当sinx=+1时，fmin=b-a
由题意 ∴a=2 不满足
②若0<≤1时，当时，
当sinx=1时，fmin=a+b
∴ ∴ ∴a2+4a-12=0
∴a=2（满足）∴b=-2
综上满足条件的 a=2；b=-2