2019届二轮复习离散型随机变量及其分布列学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1.离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量的分布列

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.

2.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：

若随机变量服从两点分布，即其分布列为

其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．

(2)超几何分布：

在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.    

(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表

为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．

分布列的两个性质

①，；②.

【重点难点突破】

考点1 离散型随机变量及其分布列

【1-1】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中的a的值为    (　　)

A. 1    B.     C.     D.

【答案】D

【解析】，选D.

【1-2】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝,k＝1,2,3，则m的值为    (　　)

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】因为，所以，选B.

【1-3】若随机变量的分布列为

则          ．

【答案】

【解析】由分布列的性质可得 由两点分布的方差可得

【1-4】【浙江省绍兴市2018届高三3月模拟】若离散型随机变量的分布列为

则常数          ，的数学期望          ．

【答案】       

【解析】由题得. 故填（1）（2）.

【领悟技法】

1. 求分布列的三种方法

(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．

(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．

(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．

2. 求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；

(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．

3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路

(1)明确随机变量可能取哪些值．

(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．

(3)根据分布列和期望、方差公式求解．

注意　解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．

【触类旁通】

【变式一】已知随机变量ξ的分布列为

则P(ξ＝3)＝            .

【答案】0.21

【解析】P(ξ＝3)＝

【变式二】若随机变量X只取两个值x1与x2，并且X取x1的概率是它取x2的概率的3倍，则X的分布列是        ．

【答案】

【解析】因为X取x1的概率是它取x2的概率的3倍，所以X取x1的概率是，取x2的概率是

【易错试题常警惕】

易错典例：某种食品是经过、、三道工序加工而成的，、、工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．

（Ⅰ）正式生产前先试生产袋食品，求这２袋食品都为废品的概率；

（Ⅱ）设为加工工序中产品合格的次数，求的分布列和数学期望．   .   ]

易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．

．

．

温馨提醒： 1．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．

【学 素养提升之思想方法篇】

对立统一，峰回路转——正难则反

正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.

具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.

【典例】医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标和．现有三种不同配方的药剂，根据分析，三种药剂能控制指标的概率分别为0.5，0.6，0.75，能控制指标的概率分别是0.6，0.5，0.4，能否控制指标与能否控制指标之间相互没有影响．

（Ⅰ）求三种药剂中恰有一种能控制指标的概率；  学 …… 

（Ⅱ）某种药剂能使两项指标和都得到控制就说该药剂有治疗效果．求三种药剂中有治疗效果的药剂种数的分布列．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

（Ⅱ）∵有治疗效果的概率为，有治疗效果的概率为

故的分布列为