2019届二轮复习（理）2-2-3导数的简单应用作业（全国通用） 练习

1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)

A．－1  B．－2e－3  C．5e－3  D．1

[解析]　由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．

∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A.

[答案]　A

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．

[解析]　解法一：由f(x)＝2sinx＋sin2x，得f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2，令f′(x)＝0，得cosx＝或cosx＝－1，可得当cosx∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当cosx∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以当cosx＝时，f(x)取最小值，此时sinx＝±.又因为f(x)＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)，1＋cosx≥0恒成立，∴f(x)取最小值时，sinx＝－，∴f(x)min＝2××＝－.

解法二：f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx＋2sinxcosx＝2sinx(1＋cosx)，

∴f2(x)＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3.

令cosx＝t，t∈[－1,1]，设g(t)＝4(1－t)(1＋t)3，

∴g′(t)＝－4(1＋t)3＋12(1＋t)2(1－t)＝4(1＋t)2(2－4t)．

当t∈时，g′(t)>0，g(t)为增函数；

当t∈时，g′(t)<0，g(t)为减函数．

∴当t＝时，g(t)取得最大值，即f2(x)的最大值为，得|f(x)|的最大值为，

又f(x)＝2sinx＋sin2x为奇函数，

∴f(x)的最小值为－.

[答案]　－

3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.

[解析]　设f(x)＝(ax＋1)ex，则f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k＝f′(0)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.

[答案]　－3

4．(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．

[解]　(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.

f′(1)＝(1－a)e.

由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.

此时f(1)＝3e≠0.

所以a的值为1.

(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.

若a>，则当x∈时，f′(x)<0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在x＝2处取得极小值．

若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0，

所以2不是f(x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是.

1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．

2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等．有时出现在解答题第一问．

3．近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略．