2019届二轮复习 不等式选讲 作业.doc 练习

不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x＋2|－2|x－1|.(1)解不等式f(x)≥－2.(2)对任意x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤x－a成立，求实数a的取值范围.解　(1)f(x)＝f(x)≥－2，当x≤－2时，x－4≥－2，即x≥2，所以x∈∅；当－2＜x＜1时，3x≥－2，即x≥－，所以－≤x＜1，当x≥1时，－x＋4≥－2，即x≤6，所以1≤x≤6，综上，不等式f(x)≥－2的解集为.(2)f(x)＝函数f(x)的图象如图所示：令y＝x－a，－a表示直线的纵截距，当直线过(1，3)点时，－a＝2；所以当－a≥2，即a≤－2时成立；当－a＜2，即a＞－2时，令－x＋4＝x－a，得x＝2＋，所以a≥2＋，即a≥4时成立，综上可知a的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞).2.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1].(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解　∵f(x＋2)＝m－|x|，∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}.又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)证明　由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c＝3时，等号成立.因此a＋2b＋3c≥9.3.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式：|g(x)|＜5.(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.解　(1)由||x－1|＋2|＜5得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，可得不等式的解集为(－2，4).(2)因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).4.设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥；(2) ＋ ＋ ≥(＋＋).  证明　(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得.∴原不等式成立.(2) ＋ ＋ ＝.由于(1)中已证a＋b＋c≥.因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.即证a＋b＋c≤1，即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.而a＝≤，b≤，c≤.∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca (a＝b＝c＝时等号成立).∴原不等式成立.5. (1)解不等式：|2x－1|－|x|＜1；(2)设f(x)＝x2－x＋1，实数a满足|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).(1)解　当x＜0时，原不等式可化为－2x＋x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在；当0≤x＜时，原不等式可化为－2x－x＜0，解得x＞0，又∵0≤x＜，∴0＜x＜；当x≥时，原不等式可化为2x－1－x＜1.解得x＜2，又∵x≥，∴≤x＜2，综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}.(2)证明　|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).6.已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解　f(x)＝当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1，所以－1<x≤－；当－<x<时，f(x)<2；当x≥时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以－<x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}.(2)证明　由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.