2019届二轮复习（理）2-8-2选修4－5不等式选讲作业（全国通用） 练习

1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

[解]　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①

当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；

当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1<x≤.

所以f(x)≥g(x)的解集为.

(2)解法一(等价转化法)：当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.

所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时f(x)≥2.

又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.

所以a的取值范围为[－1,1]．

解法二(分类讨论法)：当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于x∈[－1,1]时f(x)≥2，

即－x2＋ax＋4≥2，

当x＝0时，－x2＋ax＋4≥2成立；

当x∈(0,1]时，－x2＋ax＋4≥2可化为a≥x－，而y＝x－在(0,1]单调递增，最大值为－1，所以a≥－1；

当x∈[－1,0)时，－x2＋ax＋4≥2可化为a≤x－，而y＝x－在[－1,0)单调递增，最小值为1，所以a≤1.

综上，a的取值范围为[－1,1]．

2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．

[解]　(1)f(x)＝

y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.

1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．

2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．