【数学】四川省仁寿县文宫中学2019-2020学年高二7月月考（期末模拟）（理） 试卷

 四川省仁寿第二中学2019-2020学年高二7月月考（文）

 注意事项：

1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

4．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足，则z的实部等于

A．－3 B．0 C．1 D．2

2．为了了解2405名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为60的样本，若用系统抽样，则下列说法正确的是

A．直接进行分段，分段间隔为40，然后把剩余5人放到其中的一段 

B．直接分段间隔为40，把剩余的5人单独放到一段 

C．先随机去掉5人再进行分段，分段间隔为40 

D．以上三种方法都能保证每个人被抽到的概率相同

3．10进位制下的数13转换成3进位制应为

A．101 B．110 C．111 D．121

4．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

5．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（5，6），则回归直线方程为

A． B． 

C． D．

6．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，

那么至多一名女生参加的概率为

A．   B．       C．      D．

7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是31，则判断框中应填入

A．A＜4？       B．A＞4？    C．A＜5？    D．A＞5？

8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，

将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，平均成绩为z，则从频率分布直方图中可分析出x、y、z的值分别为

A．0.9，35，15.86             B．0.9，45，15.5 

C．0.1，35，16                D．0.1，45，16.8

9．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定，则等于

A．        B．          C．       D．

10．甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是

A． B．               C．              D．

11.已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则

A.     B.

C.    D.

12．若函数在区间（0，）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则实数a的取值范围是

A． B．a＞e C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．

13． 已知复数，（i为虚数单位，a∈R）．若为实数，则a的值为　　．

14．甲同学在“眉山好声音”歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，

94，则甲同学得分的方差为　　　　.

15．已知点 P（，1）在曲线上，则曲线在点P处的切线方程为　　　　　．

16. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__       __．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．

17．（本小题共10分）

某贫困村有120户人家，政府帮扶其中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓（每户仅扶持种植一种水果），为更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象.

（Ⅰ）用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户？

（Ⅱ）在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率．

18．（本小题共12分）

某企业生产的A产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业为了检查生产A产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在[195，210）内，则为合格品，否则为不合格品，表格是甲流水线样本的频数分布表，图形是乙流水线样本的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据图形，估计乙流水线生产的A产品的该质量指标值的中位数；

（Ⅱ）设某个月内甲、乙两条流水线均生产了3000件产品，若将频率视为概率，则甲、乙两条流水线生产出的合格产品分别约为多少件？

19．（本小题共12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的递增区间；

（Ⅱ）当x∈[，3]时，求函数的最大值和最小值．

20．（本小题共12分）

设点P（a，b），直线l1：；l2：，圆O：．

（Ⅰ）先后掷一枚骰子两次，得到的点数分别为a和b，求点P在直线l1上的概率；

（Ⅱ）设a是[0，2]内的均匀随机数，b是[0，1]内的均匀随机数，求直线l2与圆O相离的概率．

21．（本小题共12分）

某单位响应党中央“精准扶贫”号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：

（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计甲户在2019年能否脱贫；（国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）

（Ⅱ）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．

参考公式：，，其中，为数据x，y的平均数．

22．（本小题共12分）

已知函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明：．

参考答案

一、选择题：1-12、DCCAD   ACABD    AD

二、填空题：

13. 4       14. 52     15. y＝﹣3x﹣2     16. 

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，抽样比为：，······················1分

所以应选取种植苹果户．········································3分

（Ⅱ）记苹果户为A，B，C；梨户为a，b；草莓户为1；··············4分

则从6户任选2户，基本事件总数为：

AB，AC，Aa，Ab，A1，BC，Ba，Bb，B1，Ca，Cb，C1，ab，a1，b1共15种 …7分

设“6户中选2户，这两户种植水果恰好相同”为事件M，

则事件M包含的基本事件数为：AB，AC，BC，ab共4种，············9分

所以，这2户种植水果恰好相同的概率为：．·····················10分

18．解：（Ⅰ）∵前三组的频率之和为（0.012+0.032+0.048）×5＝0.46·····2分

∴中位数位于第四组，设中位数为a，

则（a﹣205）×0.08＝0.04，解得中位数a＝205.5．················5分

（Ⅱ）由题意知甲流水线随机抽取的50件产品中

合格品有：10+17+8＝35件，

则甲流水线生产的A产品为合格品的概率是P1＝＝，················7分

乙流水线生产的A产品为合格品的概率是P2＝（0.032+0.048+0.080）×5＝，

·······················································9分

某个月内甲、乙两条流水线均生产的3000件A产品中合格品件数分别约为：

3000×＝2100，3000×＝2400．································12

19．解：（1）∵函数f（x）＝x3﹣12x+6，

∴f'（x）＝3x2﹣12＝3（x﹣2）（x+2），·······················3分

由f'（x）＞0，得x∈（﹣∞，﹣2）或x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，函数为增函数；

综上所述，函数的增区间为：（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）．·········6分

（2）由（1）结合x∈[﹣1，3]，得x∈[﹣1，2）函数是减函数，（2，3）时，函数是增函数， 8分

x＝2时，f（x）min＝f（x）极小值＝f（2）＝﹣10，···············9分

x＝﹣1时，f（﹣1）＝17，

x＝3时，f（3）＝27﹣36+6＝﹣3，

f（x）max＝f（﹣1）＝17

综上所述，函数的最大值为17，最小值为﹣10．····················12分

20．解：（1）先后掷一枚骰子两次共有6×6＝36个不同实验结果，··················2分

所得点数（a，b）落在直线l1的点数有3个，分别是（1，1），（2，3），（3，5）                4分

∴点P在直线l1上的概率P＝．·································6分

（2）若直线l2与圆O相离，则＞1．·····························8分

即（a﹣2）2+（b﹣1）2＜1．于是当直线l2与圆O相离时，点P（a，b）在圆

（a﹣2）2+（b﹣1）2＝1内部．··································10分

∴直线l2与圆O相离的概率P＝＝＝．····························12分

21．解：（Ⅰ）根据表格中数据可得，

，，····················································2分

由＝，＝，可得，．········································6分

∴y关于x的线性回归方程＝3.4x+21.5，··························7分

当x＝5时，（百元），

∵3850＞3747，∴甲户在2019年能够脱贫；·······················8分

（Ⅱ）设没有脱贫的2户为A，B，另3户为C，D，E，

所有可能的情况为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共有10种可能．

其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．······················10分

∴至少有一户没有脱贫的概率为．·····························12

22．解：（1）根据题意，函数，则，···································1分

当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，f'（x）＜0，函数为减函数，

当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数为增函数，··················3分

所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，1），单调递增区间为（1，+∞）                5分

（2）证明：根据题意，g（x）＝lnx+1，g（x）的定义域为（0，+∞）……6分

要证x3f（x）＞g（x），即证．

由（1）可知f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）＝e．              7分

设，x＞0，因为，··········································8分

当时，h'（x）＞0，当时，h'（x）＜0，

所以h（x）在上单调递增，在上单调递减，

························································10分

所以，

而，所以x3f（x）＞g（x）．·································12分