【数学】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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高二下学期期中考试（文）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1．若集合，，则 （ ）
2．复数等于（ ）
3.在内的所有实数中随机抽取一个实数，则这个实数满足的概率是（ ）
4.函数 的值域是( )
5.按如图所示的程序框图运算,若输入,则输出的值是( )
6.已知命题，则（ ）
7.已知圆 ，圆，则两圆的位置关系是（ ）
内含 内切 外切 相交
8.已知,,,则向量与的夹角是 ( )
9.曲线在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )
10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,以下关于函数的判断正确的是 ( )
点为函数图象的一个对称中心
为函数图象的一条对称轴
函数在区间上单调递减
函数在区间上单调递减
11.设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,已知,且,那么一定有 ( )
12.已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 .
14.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
15.一个几何体的三视图如右图，则这个几何体的体积为 .
16.下列各命题中，是的充要条件的是 ________．
（1）； 是偶函数；
（2）； ；
（3）或； 有两个不同的零点；
（4）； ；
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知等差数列满足，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.
18．(本小题满分12分)
在中，分别为内角的对边，且=.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求.
19．(本小题满分12分)
如图，已知三棱锥中，，点，分别为，的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积.
20．(本小题满分12分)
盒子里装有张卡片,上面分别写着数字，，，，每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取张卡片，记下上面的数字，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中随机任取张卡片，记下它上面的数字.
（Ⅰ）求的概率；
（Ⅱ）设“函数在区间内有且只有一个零点”为事件，求的概率.
21．(本小题满分12分)
已知函数在时都取得极值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若都有恒成立，求的取值范围．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆的右顶点,离心率为, 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知(异于点)为椭圆上一个动点,过作线段的垂线交椭圆于点,求的取值范围.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 C 11 D 12 B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13 . 14 . 15 . 16 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. (本小题满分10分)
（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，
则由已知得 所以 ，.………………………………………(3分)
所以 .………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）设等比数列的公比为，则由已知得，
因为 ，所以 ，解得 或. ………………………………(8分)
又因为等比数列的各项均为正数，所以.……………………………………(9分)
所以等比数列的前项和 .………………(12分)
18．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）因为 ， …………………………………(1分)
所以 ， ……………………………(2分)
即， ……………………………………………(3分)
得， ………………………………………………………………(4分)
因为，所以. ………………………………………(5分)
所以. …………………………………………………………………………(6分)（Ⅱ） 因为，所以 ，……………………(8分)
所以，……………………………………………………(10分)
由， …………………………………………………………………(11分)
得. ………………………………………………………………(12分)
19. (本小题满分12分)
（Ⅰ）证明: ，分别为，的中点 ，又 ，
，又 ， ，且，
故 平面. ……………………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）解： ，为的中点， ，
由（Ⅰ）知平面， ，，
平面. 由，，
得 . 又 ，
故. ……………………………………(12分)
20. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）先后两次取到卡片的情况如下表：
| ||||
共有16种情况. …………………………………………………………………………(3分)
满足的共有4种情况.
的概率.……………………………………………………(6分)
（Ⅱ） 的值只能取，，，
当时，，
它没有零点，不符合要求.
当时，，它的零点分别为，，
在区间内只有这个零点，符合要求.
当时，，它的零点分别为
，，都不在区间内，不符合要求. …………………………(9分)
事件相当于，由（Ⅰ）知：的率为，同理可得:的概率也为.
的值只能取，，，
.
即函数函数 在区间内有且只有一个零点的概率等
于.……………………………………………………………………………………(12分)
21. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）.…………………………………………………………(2分)
因为函数在，时都取得极值，
所以，是的两个根. ………………………………………………(4分)
则有 ，，
所以，，. ……………………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）. ………………………(7分)
令 ，解得，或.
所以，随的变化情况如下表:
|
| ||||||
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
|
所以，，，，
所以在的最小值为. ………………………………………(10分)
所以要使恒成立，只要.
即，解得. ……………………………………………………(12分)
22．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以.
又，所以. 所以.
所以椭圆的方程为.…………………………………………………………(5分)
（Ⅱ）当直线的斜率为时，，为椭圆的短轴，则.
所以.………………………………………………………………………………(6分)
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，
则直线的方程为 .…………………………………………………………(7分)
由 得，
即 ，所以 ，
所以 . ……………………………………………………………………(8分)
所以 ，
即 .同理可得.
所以 . …………………………………………………(10分)
设 ，则，.
.
令 ，所以是一个增函数，
所以 .
综上，的取值范围是. ……………………………………………………(12分)
