【数学】新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）                       注意事项：1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页。答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上。2．作答非选择题时须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题须用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损。第I卷（选择题   共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若给出演绎推理的“三段论”:大前提:若直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线.小前提:已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α.A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误    D.非以上错误3.物体的运动方程为s=则此物体在t=1时的瞬时速度为 (　　)A.2       B.4      C.6       D.84．已知复数 满足的复数的对应点的轨迹是（ ）A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆5．设函数在处存在导数为2，则（ ）A． B．6 C． D．6．两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图L2-1-2中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2017,则a2017=(　　)图L2-1-2A. 1009×2017       B. 1008×2021     C. 1009×2021      D. 1008×20177．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（　）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项8.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取得极大值,则c的值为 (　　)A. 2      B. 6       C. 4     D. -49.已知p=a+(a>2),q=x2+4x(x>0),则 (　　) A. p>q      B. p<q       C. p≥q       D. p≤q10．设，，，则大小关系是(  )A． B．C． D．11．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是(   )A． B．C． D．12．若对于任意的，都有，则的最大值为（   ）A． B． C．1 D．第II卷（非选择题  共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f (x)=f ' (-1)x2+3x-4,则f ' (-1)=　　　　. 14.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手,甲说:“乙或丙获奖”.乙说:“甲、丙都未获奖”.丙说:“丁获奖”.丁说:“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话,则获奖的歌手是　　　　. 15． __________．16．已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)(1)已知z=，求|z|;(2)已知2-3i是关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.   18.（12分）已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图像关于直线x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.  19.（12分）(1)已知 0,求证:--;(2)若，b，c均为实数，且，，，求证：中至少有一个大于0.   20.（12分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2cosθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C在直角坐标系下的标准方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝6 ，射线OM：θ＝(ρ≥0)与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．    21.（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间       22.（12分）已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．                        参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数对应的点位于（D）2.结论:直线b∥直线a.那么这个推理 (　A　)A.大前提错误    B.小前提错误      C.推理形式错误    D.非以上错误3．[解析] 当t=1时,s=3t2+1=4,则v====6,故物体在t=1时的瞬时速度为6.4．【解析】因为,所以 (负舍)因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.5．【解析】根据导数定义， 所以选A6．[解析] 观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,…an=2+3+…+(n+2)==(n+1)(n+4),由此可得a2017=×2018×2021,7． 【解析】解：n=k时，左边="1" /k+1 +1/ k+2 ++1/ k+k ，n=k时，左边="1" /(k+1)+1 +1 /(k+1)+2 ++1 /(k+1)+(k+1)="(1/" k+1 +1 /k+2 ++1/ k+k )-1 /k+1 +1 /2k+1 +1/ 2k+2   故选C8.[解析] f'(x)=(x-c)2+2x(x-c),由f'(2)=(2-c)2+2×2(2-c)=0,解得c=6或2.验证知当c=2时,函数在x=2处有极小值,不合题意,故c=6,故选B.  9.[解析] p=a+=(a-2)++2≥2+2=4(当且仅当a=3时取等号),q=-(x-2)2+4≤4(当且仅当x=2时取等号),所以p≥q.10． 解:考查函数，则，在上单调递增，，，即，，故选A. 11．【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，故选C．12．【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.第II卷（非选择题  共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.[解析] f'(x)=2f'(-1)x+3,令x=-1,可得f'(-1)=2f'(-1)×(-1)+3,解得f'(-1)=1.14.甲[解析] 若乙是获奖的歌手,则甲、乙、丁都说的是真话,不符合题意.若丙是获奖的歌手,则甲、丁都说的是真话,不符合题意.若丁是获奖的歌手,则乙、丙都说的是真话,不符合题意.若甲是获奖的歌手,则甲、乙、丙都说的是假话,丁说的是真话,符合题意.15． __________．dx==-=.16．【答案】【解析】因为当时，有不等式成立，所以，令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，由题得所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.因为对，不等式恒成立，所以，因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.当x＞0时，，所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.所以，所以a＜e,所以正整数的最大值为2.故答案为2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:(1)方法一:|z|====.方法二:z====-+i,∴  |z|==.(2)将2-3i代入方程x2+px+q=0中,得到(-5+2p+q)-(12+3p)i=0,∴  -5+2p+q=0且12+3p=0,解得p=-4,q=13.18.解:(1)f'(x)=3x2-2bx+2c,∵  f'(x)的图像关于直线x=2对称,∴=2,解得b=6.(2)由(1)可知,f(x)=x3-6x2+2cx,f'(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c -12≥0,即c≥6时, f'(x)≥0, 此时函数f(x)无极值.19.证明:(1)要证->-,只需证+>+,只需证(+)2>(+)2,即证2a+9+2>2a+9+2,即证>,只需证(a+5)(a+4)>(a+6)(a+3),即证20>18,∵上式显然成立,∴原不等式成立.(2)假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, ∴  a+b+c≤0,而a+b+c=+(y2-2z+ )+(z2-2x+ )=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,∴  a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故假设是错误的.故a,b,c中至少有一个大于0.20.(1)圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，两边同时乘ρ，得ρ2＝2ρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以有x2＋y2＝2x，于是圆C在直角坐标系下的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)由题意得θ＝，设P(，θ)，Q(，θ)，由圆C的极坐标方程ρ＝2cos θ得＝，由直线l的极坐标方程2ρsin＝6 得＝3 ，从而|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 .21.【解析】（1）∵  a＝1，∴  f（x）＝x2－4x＋2lnx，∴  f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为y＝－3．（2）f ′（x）＝（x>0），令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，当0<a<1时，在x∈（0，a）或x∈（1，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（a，1）时，f ′（x）<0，∴  f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；当a＝1时，f ′（x）＝≥0，∴  f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；当a>1时，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（1，a）时，f ′（x）<0，∴  f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）．22.（1）令，；令，， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，．要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．则，即实数的取值范围为．     （2） ；设，； 设，，则在上单调递增. 又，.，使得，即，. 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减. .设，.当时，恒成立，则在上单调递增，，即当时，.   当时，关于的不等式在上恒成立.