2021届高考数学（理科）人教版 1轮复习资料（课件+达标练习）第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布列 (共17份打包)

一、选择题

1．袋中装有标号为1，2，3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A表示“三次抽到的号码之和为6”，事件B表示“三次抽到的号码都是2”，则P(B|A)＝(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选A.因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.

2．甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．则3人中至少有1人被选中的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.3人都未被选中的概率为P(ABC)＝＝，

所以3人中至少有一人被选中的概率为1－＝.

3．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)

A．3×2－2   B．2－4

C．3×2－10   D．2－8

解析：选C.因为E(X)＝6，D(X)＝3.

所以.解得n＝12，p＝.

所以P(X＝1)＝C×＝3×2－10，选C.

4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)＝(　　)

A．0.85   B．0.70

C．0.35   D．0.15

解析：选C.由正态分布曲线知P(ξ<0)＝P(ξ>2)＝0.15.所以P(0≤ξ≤1)＝0.5－0.15＝0.35，选C.

5.如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.则p的值为(　　)

A．0.3   B．0.6

C．0.9   D．0.99

解析：选C.记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1，2，3，4，

A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”， ＝，A1，A2，A3相互独立，P()＝P()＝P()P()P()＝(1－p)3，

又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.

6．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1，2，3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1，2，3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.

二、填空题

7．设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝________．

解析：因为P(X>m)＝0.3，所以P(X<6－m)＝0.3，所以P(X>6－m)＝1－P(X<6－m)＝0.7.

答案：0.7

8．(2018·福州质检)一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望为________．

解析：记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，

则X～B，Y＝10X，

所以E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20.

答案：20

9．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则目标是被甲击中的概率为________．

解析：设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝＝＝＝0.75.

答案：0.75

10．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．

解析：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；

事件B：乙实习生加工的零件为一等品，

则P(A)＝，P(B)＝，

所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.

答案：

三、解答题

11．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：

(1)5次预报中恰有2次准确的概率；

(2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

解：令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B，故概率P(X＝k)＝C

(k＝0，1，2，3，4，5)．

(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C××＝10××≈0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C××－C××＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.

(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C×××≈0.02.

12．为了确保“两会”期间的安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A，B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜利得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.

(1)求A队最后所得总分为1的概率；

(2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．

解：(1)设“A队最后所得总分为1”为事件A0，

所以P(A0)＝××＋××＋××＝.

(2)ξ的所有可能取值为3，2，1，0，

P(ξ＝3)＝××＝＝，

P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，

P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝0)＝××＝＝，

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

因为ξ＋η＝3，所以E(η)＝－E(ξ)＋3＝.

由于E(η)>E(ξ)，故B队的实力较强．

1．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求EX.

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.

解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以EX＝100×0.682 6＝68.26.

2．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示：

(1)求图中a的值；

(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；

(3)用样本频率代替概率．现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中有k名学生“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P(X＝k)，其中k＝0，1，2，…，20.当P(X＝k)最大时，求k的值．

解：(1)由频率分布直方图可知，周末“阅读时间”在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.

同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，

所以1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，

解得a＝0.30.

(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，

而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，

所以2≤m<2.5.

由0.5×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.

故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时．

(3)设在取出的20名学生中，周末“阅读时间”在[1，2.5)内的有X人，则X服从二项分布，即X～B(20，0.6)，所以恰好有k名学生周末“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为

P(X＝k)＝C(0.6)k(0.4)20－k，

其中k＝0，1，2，…，20.

设t＝＝＝，k＝1，2，…，20.

若t>1，则k<12.6，P(X＝k－1)<P(X＝k)；

若t<1，则k>12.6，P(X＝k－1)>P(X＝k)．

又＝＝<1，

所以当k＝12时，P(X＝k)最大．

所以k的值为12.