2021届高考数学（理科）人教版 1轮复习资料（课件+达标练习）第五章　平面向量 (共7份打包)

一、选择题

1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)

A．2　　　　　　　　   B.

C．0 D．－

解析：选B.因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，

又a·b＝××cos，

所以3＋m＝××cos，所以m＝.

2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|＝(　　)

A．3 B．2

C．   D.

解析：选D.(a－3b)2＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝1－6cos 60°＋9＝7，所以|a－3b|＝，故选D.

3．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为(　　)

A．－ B．－

C．   D.

解析：选A.依题意得e1·e2＝1×1×cos＝－，

|a|＝＝＝，

a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝

－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，故选A.

4．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为(　　)

A．0   B.

C．－4 D．4

解析：选C.＝2⇒||＝||＝.设与的夹角为α，·＝3⇒||cos α＝1⇒||＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此＝(，－2)，·＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C.

5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝　　　(　　)

A．   B.

C．2 D．3

解析：选A.因为＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，〈，〉＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，

所以[(1－λ)－]·(λ－)＝－，

即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，

所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.

6.如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　)

A．13 B．7

C．5 D．3

解析：选C.连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.

二、填空题

7．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．

解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.

答案：－

8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．

解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2，1)，n＝(－1，2)，所以cos〈m，n〉＝＝.

答案：

9．已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．

解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.

答案：

10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．

解析：由平面向量的数量积的几何意义知，·等于||与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.

答案：9

三、解答题

11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．

解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，

所以64－4a·b－27＝61，

所以a·b＝－6，

所以cos θ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，所以θ＝π.

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.

(3)因为与的夹角θ＝π，

所以∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

所以S△ABC＝||||·sin∠ABC＝×4×3×＝3.

12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

解：(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4.

故所求的两条对角线的长分别为4，2.

(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．

由(－t)·＝0，得：

(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，

从而5t＝－11，所以t＝－.

或者：·＝t2，＝(3，5)，

t＝＝－.