安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三高考模拟考试数学（理）试卷
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数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 己知全集，，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：全集，，，
则，
则，
故选：A．
求出，再计算出结果．
考本题查集合的交并补运算，基础题．
- 设为虚数单位，其中x，y是实数，则等于
A. 5 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】解：为虚数单位，其中x，y是实数，
，，解得：，．
则．
故选：A．
利用复数相等、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
- 埃及金字塔是古埃及的帝王法老陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】C
【解析】解：设金字塔风化前的形状如图，
，其底面周长为，
由题意可得：，
．
胡夫金字塔现高大约为米．
结合选项可得，胡夫金字塔现高大约为米．
故选：C．
由已知求出底面周长，再由底部周长除以高度的两倍等于求得高，减去10得答案．
本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是中档题．
- 体育品牌Kappa的LOGO为可抽象为如图靠背而坐的两条优美的曲线，下列函数中大致可“完美”局部表达这对曲线的函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：由图象观察可知，函数图象关于y轴对称，而选项BD为奇函数，其图象关于原点对称，故不合题意；
对选项A而言，当时，，故排除A．
故选：C．
由图象的对称性可排除BD选项，由时，函数图象中的值大于0排除A．
本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．
- 已知三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，，则角
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：因为，
由余弦定理可得，，
化简可得，，
所以，
又，
所以，即，
所以．
故选：A．
由已知结合余弦定理进行化简可求B，A，进而可求C．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
- 若A，B分别是直线与x轴，y轴的交点，圆C：上有任意一点M，则的面积的最大值是
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】解：如图，
圆C：上的点M到直线AB距离的最大值为，
，，则．
则的面积的最大值是．
故选：C．
由题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出M到直线AB距离的最大值，则的面积的最大值可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
- 在中，点F为线段BC上任一点不含端点，若，则的最小值为
A. 1 B. 8 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】解：由于点F在线段BC上，由向量共线定理可得，
则，
故选：B．
由向量共线定理可得，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量共线定理的应用，还考查了利用基本不等式求解最值中的1的代换技巧的应用．
- 我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为
A. 116 B. 100 C. 124 D. 90
【答案】B
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
，将5名医学专家分为3组，
若分为2、2、1的三组，有种分组方法，
若分为3、1、1的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
，将分好的三组分派到三个医疗点，甲专家所在组不去A医疗点，有2种情况，再将剩下的2组分派到其余2个医疗点，有2种情况，
则3个组的分派方法有种情况，
则有种分配方法；
故选：B．
根据题意，分2步进行分析：，将5名医学专家分为3组，，将分好的三组分派到三个医疗点，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
- 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则m的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，
根据所得图象对应的函数在区间上无极值点，，且，
求得，则m的最大值为，
故选：A．
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，求得m的最大值．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的单调性，属于基础题．
- 过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，M为线段的中点，O为坐标原点，则
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】解：由图象可得
，
故选：B．
画出图形，利用双曲线的定义转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
- 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，是边长为6的等边三角形，记的外心为若三棱锥的体积为则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意可得：，，．
设点P到平面BAC的高为h，由，解得．
点P所在小圆与所在平面平行上运动，．
．
．
故选：D．
由题意可得：，，设点P到平面BAC的高为h，由，解得可得点P所在小圆与所在平面平行上运动，即可得出．
本题考查了球的性质、勾股定理、等边三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
- 已知函数，的最小值为3，若存在，，使得，则正整数n的最大值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】解：求导，，
当或时，在恒成立，
从而在单调递减，，
解得，不合题意，
当时，易得在单调递减，在单调递增，
，解得不合题意，
当时，在单调递增，所以，满足题意，
所以，
所以，，所以，，
依题意有，即，得，又因为，
所以，所以n的最大值为3，
故选：B．
求导，根据函数单调性，最值与函数单调性的关系，即可求得a的值，求得的最大值为根据题意，，根据，即可求得n的最大值．
本题考查利用导数判断函数的单调性及最值，考查参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知向量，，两向量的夹角为，则______．
【答案】
【解析】解：因为向量，，两向量的夹角为；
．
故答案为：
直接根据向量夹角的计算公式把已知条件代入即可求解
本题考查向量的夹角，考查向量的模长以及计算，考查计算能力．
- 的展开式中的系数为__________用数字填写答案．
【答案】40
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题．
由二项式定理及分类讨论思想得：的展开式的通项为，则的展开式中的系数为，得解．
【解答】
解：由的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为，
故答案为40．
- 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布，且该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为______
【答案】80
【解析】解：成绩X近似服从正态分布，且，
，
成绩不低于90分的人数为．
故答案为80．
本题利用正态分布的对称性得到，从而得到成绩不低于90分的人数．
本题考查了正态分布的性质：对称性的应用．难度较低，属于基础题．
- 设抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，，则和的面积之比为______．
【答案】
【解析】解：抛物线方程为，焦点F的坐标为，
准线方程为，
如图，设，，
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则，
，
把代入抛物线，得，，
直线AB过点与
方程为，代入抛物线方程，解得，
，
在中，，
：：：，
和的面积之比为：：
故答案为：
利用三角形面积公式，可把与的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．
本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：
体检次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次及以上 |
收费比例 | 1 |
该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：
检次数 | 一次 | 两次 | 三次 | 四次 | 五次及以上 |
频数 | 60 | 20 | 12 | 4 | 4 |
假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：Ⅰ已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；Ⅱ该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人，每人发放现金200元．用5表示体检3次的会员所得现金和，求的分布列及．
【答案】解：医院3次体检的收入为，
三次体验的成本为，
故平均利润为元；
根据题意抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，
，200，400，
，
．
，
分布列如下：
| 0 | 200 | 400 |
P |
|
|
．
【解析】根据题意求出即可；
利用分层抽样求出5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，，200，400，求出分布列和期望即可．
考查离散型随机变量求分布列和数学期望，中档题．
- 已知数列为等差数列，，且，，依次成等比数列．
求数列的通项公式；
设，数列的前n项和为，若，求n的值．
【答案】解：设数列为公差为d的等差数列，
，即，即，
，，依次成等比数列，可得
，即，
解得，
则；
，
即有前n项和为
，
由，可得，
解得．
【解析】设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
求得，运用裂项相消求和可得，解方程可得n．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
- 如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，，且．
证明：平面平面PCE；
若直线PC与平面ABCD所成的角为，求平面CPB与平面CDE所成锐二面角的余弦值．
|
【答案】解：证明：连结BD，交AC于点O，取PC中点F，连结OF、EF，
多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，
，，O是AC中点，
，平面PAC，
是PC中点，平面ABCD，，且．
，四边形EFOD是平行四边形，，
平面PAC，
平面PCE，平面平面PCE．
解：平面ABCD，，平面ABCD，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
直线PC与平面ABCD所成的角为，底面ABCD是边长为2的菱形，，
，
，0，，1，，0，，0，，
1，，2，，1，，0，，
设平面CPB的法向量y，，
则，取，得1，，
设平面CDE的法向量b，，
则，取，得，
设平面CPB与平面CDE所成锐二面角为，
则．
平面CPB与平面CDE所成锐二面角的余弦值为．
【解析】连结BD，交AC于点O，取PC中点F，连结OF、EF，推导出，，从而平面PAC，推导出，四边形EFOD是平行四边形，，从而平面PAC，由此能证明平面平面PCE．
由平面ABCD，，得平面ABCD，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CPB与平面CDE所成锐二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
- 已知直线l：，椭圆C；，，分别为椭圆的左右焦点．Ⅰ当直线l过右焦点时，求C的标准方程；Ⅱ设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且，，若点O在以线段GH为直径的圆内，求实数a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ直线l：经过右焦点，
，解得，
又，，
椭圆C的标准方程为：；Ⅱ设，，
联立方程，消去x得：，
，解得，
且有，，
由，，可求得，，
，
设M是GH的中点，则，
点O在以线段GH为直径的圆内，
，
即，整理得：，
，
，即，
又，且，
，
实数a的取值范围为：．
【解析】Ⅰ把右焦点的坐标代入直线l的方程求得a的值，即可得到C的标准方程；Ⅱ设，，联立直线l与椭圆方程，根据求出a的范围，且利用韦达定理表示出和，根据，可知，，表达出，设M是GH的中点，则表示出M的坐标，进而根据，整理可得：，把和的表达式代入求得m的取值范围，最后综合可得答案．
本题主要考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，是中档题．
- 已知函数Ⅰ当时，求的单调增区间；Ⅱ若，且在上有唯一的零点，求证：
【答案】解：Ⅰ当时，，，
，
即，解得，
的单调递增区间为；Ⅱ，
，
令，解得，，
当时，，单调递减，
当，，，单调递增，
，，
在上有唯一的零点，
，且，
，，
，，
消去a可得，
设，，
恒成立，
在上单调递减，
，，
．
【解析】Ⅰ先求导，根据导数和函数单调性的关系即可求出；Ⅱ先求导，可得函数的单调区间，在上有唯一的零点，可得，且，根据，，消a可得，再设，，利用导数和函数零点存在定理即可求出．
本题考查了导数和函数的函数单调性的关系，函数零点存在定理，属于中档题．
- 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
求曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
设直线与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，求的值．
【答案】解：将C的方程化为，
故其极坐标方程为，
l的普通方程是．
将代入C的极坐标方程得，
故，
将代入l的极坐标方程得，即，
所以．
【解析】直接利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
利用极径的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
- 已知函数．
当时，解不等式；
若，，求证：．
【答案】解：当时，，可化为，
此时．
当时，，可得不等式无解；
当时，，即，则；
当时，恒成立，
综上，不等式的解集为．
证明：由，，得，，
则，
故．
【解析】将原不等式化为，由绝对值的意义去绝对值符号，解不等式求并集可得所求解集；
由题意可得，，两式相加，结合绝对值不等式的性质，以及不等式的传递性，即可得证．
本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
