安徽省桐城市某中学2020届高三下学期模拟考试数学（理）试卷

安徽省桐城市某中学2020届高三下学期模拟考试数学（理）试卷

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知集合，若1，2，，则实数m的值为______．
2. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z的模为______．
3. 某大学对1000名学生的自主招生考试水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于80分的学生数是______．

4. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．
   

5. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为______．
6. 记函数定义域为在区间上随机取一个数x，则的概率是______．
7. 公差不为零的等差数列的前n项和为，是、的等比中项，且，的值为______．
8. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该冰淇淋的体积是______．
   
   
   
   
   

9. 在平面直角坐标系中，已知点，若直线l：上存在点P使得，则实数m的取值范围是______．
10. 若函数在区间内有且只有一个零点，则在区间上的最小值是______．
11. 如图，在菱形ABCD中，，点F在CD上，线段AC与BF相交于点E，，，则的值为______．

12. 已知，，其中p为正的常数，则p的值为______．
13. 设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D是边BC上一点，且，，则的最小值为______．
14. 已知函数满足：定义域为R；对任意，有；当时，若函数，则函数在区间上的零点个数是______．

二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

15. 如图，直三棱柱中，点M为棱的中点，且．
    求证：平面平面；
    求证：平面
    
    
    
    
    
    

16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知，
    求角A的大小；
    若，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
17. 如图，圆O是某城区一块半径为1km的空地，AB是圆O东西方向的直径，点E在AB南侧，满足，现规划在圆O的内接四边形ABCD区域内建商业区，其中，在AB南侧的半圆区域内，过点E建道路为圆O的弦，在区域内建最大的圆形舞台如图阴影圆其它区域内建配套设施和休闲娱乐设施．
    求商业区四边形ABCD面积最大时，的大小；
    求圆形舞台面积最大时，道路GH的长度．

18. 已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是AT的中点．
    求椭圆的离心率；
    过点T的直线与椭圆相交于M，N两点，M，N都在x轴上方，并且M在N，T之间，且．
    记，的面积分别为，，求；
    若原点O到直线TMN的距离为，求椭圆方程．

19. 已知函数，．
    当时，求函数的单调区间；
    若有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．
    设函数的两个极值点分别为，，且满足，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
20. 已知数列是等比数列．
    设，．
    若，，求实数M的值；
    若在与中插入k个数，，，，使，，，，，，成等差数列，求这k个数的和；
    若一个数列的所有项都是另一个数列中的项，则称是的子数列，已知数列是公差不为0的等差数列，，，，其中m是某个正整数，且，求证：数列是的子数列．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案

1.【答案】4
2.【答案】

3.【答案】300

4.【答案】17
5.【答案】

6.【答案】

7.【答案】15
8.【答案】

9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】

13【答案】
14.【答案】10

15.【答案】证明：直三棱柱中，点M为棱的中点，且．
，，
，
平面，
平面平面．
连结，交于N，连结MN，
直三棱柱中，是矩形，是中点，
点M为棱的中点，，
平面，平面，
平面

16.【答案】解：，
由正弦定理可得，
，，
，即，

．
由，且，
，
，
，
，
，
，
．

17.【答案】解：连接OC，如图，设，
由，可得，且，，
圆O的半径为1km，
，，
设，，，
令，可得舍去，
由，可得，当时，；当时，．
则在递增，在递减，可得当时，取得最大值，
即商业区四边形ABCD面积最大时，；
如图，，，要使圆形舞台的面积最大，则，此时，
此时，
即当圆形舞台的面积取最大值时，道路GH的长度为，
综上所述，结论为：圆形舞台面积最大时，道路GH的长度为．

18.【答案】解：由F是AT的中点，可得，
即，又a、，
则，可得；
解法一：过M，N作直线l的垂线，
垂足分别为，，
依题意，，
又，故，故M是NT的中点，可得，
又F是AT中点，即有，故；
解法二：有，即为，
椭圆方程为，，，
设，，点M在椭圆上，即有，
，
同理，
又，故，得M是N，T的中点，可得，
又F是AT中点，可得，则；
解法一：设，则椭圆方程为，
由知M是N，T的中点，不妨设，则，
又M，N都在椭圆上，
即有即，
两式相减得：，解得，
可得，故直线MN的斜率为，
直线MN的方程为，即，
原点O到直线TMN的距离为，
依题意，解得，
故椭圆方程为．
解法二：设，则椭圆方程为，
由知M是N，T的中点，故，
直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为，与椭圆联立，
并消去y得：，
整理得：，
设，，
即有，
由解得，
即有，解之得，即．
直线MN的方程为，即，
原点O到直线TMN的距离为，
依题意，解得，
故椭圆方程为．

19.【答案】解：当时，，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
，，显然原点不在曲线上，
设切点为，
，
，
，
即，
显然，
，
设，
，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
当，即时，不存在切线；
当或，即或时，有且仅有一条切线，
当，即时，存在两条切线；
，，
，
，是函数的两个极值点，
，是方程的两个正根，
，即，，，
不妨设，
则，
，
要证明，
只要证，
即证，
令，，
，
在上单调递增，且，


．

20.【答案】解：，，
，
，
，，
是以公比为的等差数列，是以公比为的等比数列，
，
，
，解得，
根据等差数列的性质得：，
，
证明：设数列的公比是q，，
设数列是公差是d，则，
，，，
 ，
消去d，，即，
，m是某个正整数，且，
N，且，
，
，
，
，
时，，此时，
或2时，，，
数列中所有项都是数列的项，
数列是数列的子数列．