广东省汕头市2020届高三第一次模拟考试数学理试题
展开2020年汕头市普通高考第一次模拟考试试题
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目的要求的。
1．已知集合A＝｛x｜1≤x≤4｝，B＝｛x｜｝，则A∩B＝
A、｛x｜2≤x≤4｝B、｛x｜2＜x≤4｝C、｛x｜1≤x≤2｝D、｛x｜1≤x＜2｝
2．下列各式的运算结果虚部为1的是
A、 B、 C、 D、2＋
3．若实数x，y满足则的最大值是
A、9 B、12 C.3 D、6
4．近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国
到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”
沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是
①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加
②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小
③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平
A、①②③ B、②③ C、①② D、③
5．已知函数是定义在R上的偶函数，且在［0，＋∞）上单调递减，f(2)＝0，则不等式
的解集为
A、（，4） B、（2，2） C、（，＋∞） D、（4，＋∞）
6．已知函数的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交
点的横坐标分别为2、4、8，则f(x)的单调递减区间为
7．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。”这是我国古代数学名
著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题。意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱
柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题
中“城”的体积等于
A、1.8975×106立方尺 B、3.7950×106立方尺 C、2.5300×105立方尺 D、1.8975×105立方尺
8．已知四边形ABCD为平行四边形，，，M为CD中点，，
则＝
A、 B、 C、1 D、
9．△ABC中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且，若a=2，则△ABC的面积的最大值是
A、1 B、 C、2 D、2
10．在的展开式中，x3的系数为
A、－40 B、160 C、120 D、200
11．体积为的三棱锥A-BCD中，BCAC=BD=AD=3，CD＝2，AB，则
该三棱锥外接球的表面积为
A、20 B、 C、 D、
12．若函数f(x)在其图像上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足条件：
的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数：
其中为“柯西函数”的个数为
A、1 B、2 C、3 D、4
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线在点（1，f(1))处的切线方程为 .
14．若双曲线C：的两个顶点将焦距三等分，则双曲线C的渐近线方
程为 .
15．“新冠肺炎”爆发后，某医院由甲、乙、丙、丁、戊5位医生组成的专家组到某市参加抗击疫情.五位医生去乘高铁，按规定每位乘客在进站前都需要安检，当时只有3个安检口开通，且没有其他旅客进行安检.5位医生分别从3个安检口进行安检，每个安检口都有医生去安检且不同的安检顺序视为不同的安检，则甲、乙2位医生不在同一个安检口进行安检的概率为 .
16．直线和抛物线C：相交于不同两点A、B，设AB的中点为M，
抛物线C的焦点为F，以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足
｜MN｜＝｜NF｜，则直线l的方程为.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．(本小题12分)
已知nS为数列｛｝的前n项和，且，。
（1）求数列｛｝的通项公式；
（2）令，设数列b的前项和为Tn，若，求n的最小值.
18.(本小题12分)
在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝AB
（1）证明：BC⊥PA
（2）若PA＝PC＝AC，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.
19.（本小题12分）
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零
件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本零件直径的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为x，并根
据以下不等式进行评判（P表示相应时间的概率）：
.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，
则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级.
（2）将直径小于或直径大于的零件认为是次品
①从设备M的生产流水线上任意抽取2件零件，求其中次品个数的数学期望E(Y)；
②从样本中任意抽取2件零件，求其中次品个数的数学期望E(Z).
20．(本小题12分)
已知椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为F(1，0)，以坐标原点O为圆心，椭圆短半
轴长为半径的圆与直线的相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过点F的直线l1，l2分别交椭圆C于A、B及C、D四点，且l1⊥l2，探究：是
否存在常数，使恒成立.
21．(本小题12分)
已知函数
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：为参数，已知直
线，直线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立
极坐标系.
（1）求曲线C以及直线l1，l2的极坐标方程；
（2）若直线l1与曲线C分别交于O、A两点，直线2l与曲线C分别交于O、B两点，
求△AOB的面积.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数
（1）当a＝－2时，求不等式的解集；
（2）若
