北京十一中学2020届高三下学期第一次模拟数学试题

北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷

一、选择题
（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 已知集合 ， ，且 、 都是全集 ( 为实数集)的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）．
A. B. 或 C. D.


2. 下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为 的是（ ）．
A. B. C. D.


，则
C.
3. 已知双曲线 的一条渐近线倾斜角为
A. B.
（ ）．
D.



4. 下列不等式成立的是（ ）．
A. B. C. D.


5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如 ， ．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 的概率是（ ）．
A. B. C. D. 以上都不对

6. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )

A. 若
，
， B. 若
，
， C. 若
，
，
D. 若
，
，
则

则


，则


，则


7. 数列 的通项公式为 ．则“ ”“是 为递增数列”的（ ） 条件．
A. 必要而不充分 B. 充 要
C. 充分而不必要 D. 即不充分也不必要


8. 设函数
A.
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）．
B. C. D.



9. 已知函数 ．下列命题：①函数 的图象关于原点对称；②函数 是周期函数；③当 时，函数 取最大值；④函数 的图象与函数 的图象没有公共点， 其中正确命题的序号是（ ）．
A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②④

10. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 ，点 到 ， 的距离都是 ，
点 是 上的动点，满足 到
的最小值是（ ）．
的距离与 到点 的距离相等，则点
的轨迹上的点到
的距离
A. B.
C.
D.


二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11. 如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 ．


12. 某高中共有 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 ．

13. 角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 的值是 ．

14. 平面向量 ， ， ，且 与 的夹角等于 与 的夹角， 则 ．

15. 以 ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，且满足
，则点 的轨迹方程为 ．

16. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的 ， ， ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之 ．
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号

注:
.同意画“ ”，不同意画 ．
.每. 张. 选. 票. “ ”的. 个. 数. 不. 超. 过. 时. 才. 为. 有. 效. 票. ．
甲

乙

丙


三、解答题
（本大题共6小题，共80分）

17. 如图所示，已知 平面 ， ， 为等边三角形， 为 边上的中点， 且 ．

（ 1 ）求证： 面 ．
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
（ 3 ）求该几何体 的体积．

18. 在锐角 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， ， ，且 ．
（ 1 ）求角 的大小；
（ 2 ）求函数 的值域．

月收入（单位：百元） 频数
频率
赞成人数
19. 某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了 名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：





（ 1 ）若所抽调的 名市民中，收入在 的有 名，求 ， ， 的值，并完成频率分布直方图．
频率
组距




收入 百元
（ 2 ）若从收入（单位：百元）在 的被调查者中随机选取 人进行追踪调查，选中的 人中恰有 人赞成“楼市限购令”，求 的分布列与数学期望．
（ 3 ）从月收入频率分布表的 组市民中分别随机抽取 名市民，恰有一组的 名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这 名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．

20. 已知函数
（ 1 ） 当

时，求
．
的单调区间．

（ 2 ）设直线
时切线
（ 3 ）已知
是 曲 线 的方程．
分别在
的切线，若 的斜率存在最小值 ，求

， （ ）处取得极值，求证：
的值，并求取得最小斜率

．

21. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ．点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（ 1 ）求椭圆 的方程；
（ 2 ）已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．过点 任作直线 与椭圆 相交于 ， 两点，设直线 ， ， 的斜率分别为 , ， ，若
，试求 满足的关系式．

22. 对于非负整数集合 （非空），若对任意 ， ，或者 ，或者 ，则称为一个好集合．以下记 为 的元素个数．
（ 1 ）给出所有的元素均小于 的好集合．（给出结论即可）
（ 2 ）求出所有满足 的好集合．（同时说明理由）
（ 3 ）若好集合 满足 ，求证： 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数倍．

北京市第十一中学2020届高三一模数学试卷(答案)

一、选择题

1. C

【解析】
，
，
图中表示的是 ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．

2. B

【解析】A 选项：






根据题意可画出函数 上不单调，故 错误； B 选项：
的图象草图，则函数
在定义域






根据题意可画出函数 的图象，由图象可知， 在定义域上单调递增，且值域为 ，故 正确；
C 选项：


根据题意可作出 的大致图象，由图象可知，此函数单调递增，但值域为，故 错误；
D 选项：







根据题意可作出错误；
故选 B .
的大致图象，由图象可知，此函数在定义域上不单调，故


3. D

【解析】题目中双曲线方程可知， ，且渐近线方程为 ，因为其中一条渐
近线倾斜角为 ，则切斜率 ， ，则 ， 故选 D．

4. D

【解析】对于 ， 则 ，故 错误； 对于 ， 是在 单调递增， ，
∴ ，故 错误；

对于 ， ， ，
，∴ ．故 错误;
对于 ， 在 单调递增，又 ，
∴ ，故 正确．
综上，不等式成立的是 ，故选 ．

5. A

【解析】不超过 的 素 数 有 ， ， ， ， ， ， ， 共 个 ， 从这 个素数中任选 个，有 种可能，
其中选取的两个数，其和等于 的有 ， 共 个，
故随机选出两个不同的数，其和等于 的概率是 ． 故选 ．

6. C

【解析】解：对于A，由 可知存在直线 ，故当 为 内与 垂直的直线时，显然
， ，故A错误；

对于B，设
，则当
为
内与
平行的直线时，
，
，故B错
误；






对于C， ，
，得到

，又
，所以
，故C正确；

对于D，设 ，则当 为 内与 平行的直线时， ，故D错误． 故选：C．

7. A

【解析】数列 的通项公式为 ， ， 若“ 是递增数列”，则
，
即 ，
化简的 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴“ ”是 为递增数列的必要不充分条件． 故选 ．

8. B


【解析】
∵
的定义域为 ，




∴ 为偶函数， 时，
∴ 在



单调递减，
，

单调递增，

若 ，则
∴ 的取值范围是故 选 ．
，即 或 ，
，


9. A

【解析】函数定义域为 ，且 ，即函数为奇函数，故①正确；
是周期函数，而 不是周期函数，故 不是周期函数，即②错
误；
， ，故 不是最值，即③错
误；


因为 ，当 时， ， ，故
， ；当 时， ， ，故
， ．即函数 的图象与函数 的图象没有公共
点，④正确． 故选： ．

10. D

【解析】






如图，原题等价于在直角坐标系 中，点 、 是第一象限内的动点，满足到 轴的距离等于点 到点 的距离，则点 的轨迹上的点到 轴的距离的最小值 是多少．设 ，则 ，化简得
，则 ，故 ，即点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 ，故选 ．

二、填空题
11.

【解析】由图可知 ， ，所以
．

12. 人

【解析】 设高一、高二、高三人数分别为 、 、 ， 则 ，
且 ，
解得 ，
用分层抽样的方法抽取 人，那么高二年级被抽取的人数为 人．
13.
【解析】由于角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，可得 ，∴ ．
故答案为： ．

14.

所以
，即
【解析】由已知可得 ，且 ，
，
即 ，解得 ．
15.
【解析】∵ ，
∴ ，
和 的中点坐标为 ，
∵ 在线段 的垂直平分线上，


∴ ，
∴ ，
和 的中点坐标为 ，
∵ 在线段 的垂直平分线上，

∴ ，

∴

，
∵
，

∴

，
∴

，
∴点 的轨迹方程为 ． 故答案为： ．
16.

【解析】不妨设共有选票 张，投 票的有 ， 票的 ， 票的 ，则由题意可得：

，化简 得 ，即 ，

由题投票有效率越高， 越小，则 ， ，
故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 ．

三、解答题
17. （ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）证明见解析．
（ 3 ） ．

【解析】（ 1 ）取 的中点 ，连接 ， ，
则
，
，

∴ ，





（ 2 ）
∴四边形 为平行四边形，
∴ ．
又 面 ， 平面 ，
∴ 面 ．
为等边三角形， 为 中点，
∴ ．
又 ，
∵ ，
∴ 面 ． 又 ，
∴ 面 ，
∴面 平面 ．

（ 3 ）几何体 是四棱锥 ，
作 交 于点 ，即 面 ，

．
18. （ 1 ） ；
（ 2 ）

【解析】（ 1 ）由 ，得 ， ，
，
在锐角 中， ，
，故有 ；
，
，
，
，
（ 2 ）在锐角 中， ，故 ．
．

函数 的值域为 ．


19. （ 1 ）
（ 2 ）



（ 3 ）
， ， ，画图见解析． 的分布列为：



∴
．
．


【解析】（ 1 ）由频率分布表得 ，
即 ．
因为所抽调的 名市民中，收入（单位：百元）在 的有 名， 所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，且频率分布直方图如下：
频率组距




收入 百元
（ 2 ）收入在 中赞成人数为 ，不赞成人数为 ，
；
，
∴ 可能取值为 ， ， ，


；

∴ 的分布列为：
∴
．

（ 3 ）来自 的可能性更大．

20. （ 1 ）函数的单调递减区间为 ．

（ 2 ） ， ．
（ 3 ）证明见解析．

【解析】（ 1 ）因为函数的定义域为 ，
当 时， ，

，
所以由于 ，解得 ， 即函数的单调递减区间为 ．
（ 2 ）因为 ，所以 ，
因为
，所以
．
当 取得最小斜率时，因为 ，即切点为
从而切线方程 ，即：

．
．
） ，
因为 分别在 ， （ ）处取得极值，


所以 ， （ ）是方程
，

即 的两个不等正根．
则 解得 ，且

，

．
从而



当且仅当 时取等号．因为直线 的斜率存在最小值 ， 所以 ，即 ．

（ 3







，


即不等式 成立．

21. （ 1 ） 椭圆 的方程为 ．
（ 2 ） 的关系式为 ．

【解析】（ 1 ）依题意， ， ，
所以 ．
故椭圆 的方程为 ．
（ 2 ）①当直线 的斜率不存在时，由 解得 ． 不妨设 ， ，


因为 ，又 ，所以 ， 所以 的关系式为 ，即 ．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 将 代入 整理化简得， ．
所以
所以
，所以
，所以
的关系式为
设 ， ，则 , ． 又 ， ．
．
综上所述， 的关系式为 ．


22. （ 1 ）
（ 2 ）
， ， ， ． ；证明见解析．

（ 3 ）证明见解析．

【解析】（ 1 ） ， ， ， ．
（ 2 ）设 ，其中 ，
则 由 题 意 ： ， 故 ， 即 ， 考 虑 ， ， 可知 ，
所以 或 ， 若 ，则考虑 ， ， 由于 ，
所以 ，因此 ，
所以 ，但此时考虑 ， ，但 ， ， 不满足题意．
若 ，此时 满足题意， 所以 ，其中 ， 为相异正整数．

（ 3 ）记
首先， 其中
分别考虑
，则
，设


和其他任一元素
，
，
，
，由题意可得



也 在 中 ，
而 所以
所以

，


，
，
对 于 故其差
特别的，
，考虑

，
， ，其和大于
，
，
所以
由
，
，且

，


所以
，

通过归纳可得：

，
所以
，此时，


，
故 中存在元素 ，使得 中所有元素均为 的整数倍．