安徽省芜湖市2020届高三高考仿真模拟卷（一） 数学（理）
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数学(理)
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则A∩B等于
A.{2，3，4} B.{1，2，3} C.{2，5} D.{1，4}
2.在复平面内，与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为
A.1＋i B.1－i C.－1－i D.－1＋i
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足2S3＝a3＋a7＝18，则a1＝
A.1 B.2 C.3D.4
4.函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且为偶函数。若f(2)＝－1，则满足f(x－3)≥－1的x的取值范围是
A.[1，5] B.[1，3] C.[3，5] D.[－2，2]
5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何?”其大意是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
A. B. C. D.
6.已知logx3＝3，logy7＝6，，则实数x，y，z的大小关系是
A.x<z<y B.z<x<y C.x<y<z D.z<y<x
7.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调。“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下：“三分损一”是在原来的长度减去一分，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度增加一分，即变为原来的三分之四。如图F1－1的程序框图是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，则输出的x的值为
A. B. C. D.
8.若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，，则a3＝
A.－70 B.28 C.－26 D.40
9.若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图像关于原点对称，则φ最小时，tanφ＝
A.－ B. C.－ D.
10.抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝，则∠AFB的最大值为
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2019)＝
A.2019 B. C.2 D.
12.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是
A.[，＋∞) B.(－∞，] C.[，＋∞) D.(－∞，－]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为120°，则|2a＋b|＝ 。
14.已知实数x，y满足，则目标函数z＝x－y的最大值为 。
15.已知双曲线C：，其渐近线与圆(x－2)2＋y2＝2相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为 。
16.已知三棱锥P－ABC的外接球半径为2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AC，则该三棱锥体积的最大值为 。
三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC＝90°，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3。
(1)求BD的长；
(2)求cos∠C的值。
18.(12分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷。为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐的“送达时间”，得到茎叶图如图所示(时间：分钟)。
(1)请计算“送达时间”的平均数与方差；
(2)根据茎叶图可得下表：
在答题卡上写出A，B，C，D的值；
(3)在(2)的情况下，以频率代替概率，现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望。
19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，AB＝2CD＝2，AD＝，PC＝3，△PAB是正三角形，E为AB的中点，平面PAB⊥平面PCE。
(1)求证：CE⊥平面PAB；
(2)在棱PD上是否存在点F，使得二面角P－AB－F的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
20.(12分)已知x＝1是函数f(x)＝ax2＋－xlnx的极大值点。
(1)求实数a的值；
(2)求证：函数f(x)存在唯一的极小值点x0，且0<f(x0)<。(参考数据：ln2≈0.69)
21.(12分)已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其焦距为2，点E在椭圆C上，EF1⊥EF2，直线EF1的斜率为(c为半焦距)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)设圆O：x2＋y2＝2的切线交椭圆C于A，B两点(O为坐标原点)，求证：OA⊥OB；
(3)在(2)的条件下，求|OA|·|OB|的最大值。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)。
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|4x－5|的最小值为M。
(1)求M；
(2)若正实数a，b，c满足a＋b＋c＝M，求证：。
