河南省六市2020届高三模拟调研数学（理）试题
展开★2020年5月28日
2020年河南省六市高三第二次联合调研检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．其中第I1卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将答题卡交回.
注意事项:
1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合，则=
A．（，4] B．[，4） C．（，4） D．[，4]
2．复数z1在复平面内对应的点为（2，3）．（i为虚数单位），则复数的虚部为
A． B． C． D．
3．在△ABC中，若点D满足，则=
A． B． C． D．
4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源.其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为
A． B．
C． D．
5．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作，下图1是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中一个构件的三视图（图中单位mm），则此构件的体积为
A．34000 mm3 B．33000 mm3 C．32000 mm3 D．30000 mm3
6．已知等差数列的前n项和为，且，则取得最大值时n=
A．14 B．15 C．16 D．17
7．设，则
A． B． C． A．
8．已知，O是坐标原点，P（x,y）的坐标满足，则的最小值为
A． B． C． D．
9．已知抛物线C：的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线C上存在一点N，使M，N关于直线对称，则P=
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知函数，将此函数图像分别作以下变换，那么变换后的图像可以与原图像重合的变换方式有
①绕着x轴上一点旋转180°； ②以x轴为轴，作轴对称；
③沿x轴正方向平移； ④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
11．已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
12．右图是棱长为2的正方体木块的直观图，其中P，Q，F分别是D1C1，BC，AB的中点，平面过点D且平行于平面PQF，则该木块在平面内的正投影面积是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．在△AOB中，，满足，则△AOB的面积 ．
14．在的展开式中，各项系数的和为512，则项的系数是 ．（用数字作答）
15．已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P为上异于顶点的点，直线l分别与以PF1，PF2为直径的圆相切于A，B两点，若向量，的夹角为，则= ．
16．已知数列的前n项和为，，，数列的前n项和为，若使得恰好为数列中的某个奇数项，则数列的通项公式= ，所有正整数m组成的集合为 ．（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足以下四个条件中的三个：① ② ③ ④
（Ⅰ）条件①②能否同时满足，请说明理由；
（Ⅱ）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
如图在四棱锥P—ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，∠BAD=60°，AD∥BC，AD=4BC=4，PA=PB=．
（Ⅰ）证明：PC⊥CD
（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点P，M，N为椭圆C上的点，直线MN过坐标原点，直线PM，PN的斜率分别为，，且．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若PF∥MN且直线PF与椭圆的另一个交点为Q，问是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入（单位：千元）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（Ⅱ）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N（，），其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得=6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，.
21．（本小题满分12分）
已知函数，且．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）令在上的最小值为m，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设A．B为曲线C2上位于第一，二象限的两个动点，且∠AOB=，射线OA，OB交曲线C1分别于点D，C．求△AOB面积的最小值，并求此时四边形ABCD的面积。
23．（本小题满分10分）
已知a，b，c均为正实数，函数的最小值为1．
证明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
