辽宁省大连市2020届高三上学期模拟数学（文）试题
展开2019-2020学年辽宁省大连市高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题）
1.已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（ ）
A. ∅ B. {x|x＞0} C. {x|x＜1} D. {x|0＜x＜1}
【答案】D
【解析】
试题分析：根据一元二次不等式的解法，对集合M进行化简得M={x|﹣1＜x＜1}，利用数轴求出它们的交集即可．
解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，
N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，
故选D．
考点：交集及其运算．
2.已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．
【详解】解：
，
故选：D．
【点睛】本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘法运算，合并同类项，得到结果．
3.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
4.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
【详解】解： ， ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.若命题“”为假，且“”为假，则
A. 或为假 B. 真 C. 假 D. 不能判断的真假
【答案】C
【解析】
试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.
考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.
点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.
6.在等差数列中，已知则等于 （ ）
A. 40 B. 43 C. 42 D. 45
【答案】C
【解析】
∵等差数列中，
∴公差．
∴＝＝42．
7.运行流程图，若输入，则输出的y值为（ ）
A. 4 B. 9 C. 0 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
分析程序的功能是计算并输出分段函数y的值，代入对应是x的值求出y的值即可．
【详解】解：分析程序的功能是计算并输出分段函数
；
输入时，计算 ；
所以输出 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用程序框图求分段函数值的应用问题，是基础题．
8.双曲线过点，则双曲线的焦点是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
分析】
先将点的坐标代入双曲线方程求出a值，再利用双曲线的标准方程，就可求出双曲线中的a，b的值，根据双曲线中a，b，c的关系式即可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．
详解】解： 双曲线 过点 ，
，
， ， ，
又 双曲线焦点在x轴上，
焦点坐标为
故选：B．
【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置，属于基础题．
9.已知向量，，，则
A. B. C. D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ，，对两边平方，进行数量积的运算即可求出 的值．
【详解】解：，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
10.若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】解： 在区间 上单调递减，
在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.
11.甲、乙、丙三名同学在军训的实弹中射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表．，，分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则
环数 | 7环 | 8环 | 9环 | 10环 |
甲的频数 | 2 | 3 | 3 | 2 |
乙的频数 | 1 | 4 | 4 | 1 |
丙的频数 | 3 | 2 | 2 | 3 |
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平均数，代入计算标准差即可，或者用观察法，判断估计离散情况．
【详解】解：解法一： 设分别为甲，乙，丙射击成绩的平均数，
，
，，
同理可得， ，，，
或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大，
故选：A．
【点睛】本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，是基础题．
12.如图，、、是同一平面内三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】作高AE，BG，CF（如图），
设AD＝x，则AC＝3x，
于是，，
∵∠BDG＝∠CDF，
∠BGD＝∠CFD＝90°，
∴Rt△BDG∽Rt△CDF，
，即，
．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题）
13.实数x，y满足，则的最小值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，由得直线 ，平移直线找出最优解，计算z的最小值．
【详解】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示；
由 得 ，平移直线 ，
则由图象可知当直线 ，
经过点A时直线的截距最小，
此时z最小，
由 ，解得 ，
此时；
即的最小值为．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，根据z的几何意义，利用数形结合是解题的关键．
14.已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则先求出函数的导数的解析式，再把代入的解析式运算求得结果．
【详解】∵函数，∴，
∴，故答案为.
【点睛】本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，准确求出导函数是解题的关键，属于基础题．
15.已知某个几何体的三视图如上图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .
【答案】
【解析】
【详解】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，
其底面面积S＝20×20＝400cm2，
高h＝20cm，
故体积，
故答案为：
16.对于，有如下命题：
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为钝角三角形．
若，则一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上
【答案】，，
【解析】
【分析】
三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定
【详解】或，为等腰或直角三角形
正确；
由可得
由正弦定理可得
再由余弦定理可得，为钝角，命题正确
全为锐角，命题正确
故其中正确命题的序号是，，
【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简
三、解答题（本大题共7小题）
17.设A，B，C是的内角，已知向量，向量，．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用向量垂直的性质求出 ，由此能求出B．
（2）由 ，得 ，
，由此能求出的取值范围．
【详解】解：（1）向量，向量 ， ，
，得 ，
又 ， ，
，
解得；
（2）由（1）知 ，
，
，
， ，
的取值范围是
【点睛】本题考查角的大小和两角的正弦和的取值范围的求法，考查向量垂直的性质、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.试比较下面概率的大小：
（1）如果以连续掷两次骰子依次得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，点P在直线的下面包括直线的概率；
（2）在正方形，，x，，随机地投掷点P，求点P落在正方形T内直线的下面包括直线的概率．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，依次得到点数m、n，基本事件的总数为，将m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线下方包括直线的基本事件有10种，由此能示出点P在直线下方的概率；
（2）分别求出正方形的面积以及阴影部分的面积，根据几何概型的面积之比即可求解，
求出了，即可得解.
【详解】解：（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，基本事件的总数为．
由m，2，3，4，5，满足的点有：
，，，，，，，，，共10种．
．
（2）正方形的面积．
直线与，围成的三角形面积
．
．
．
故．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
19.一个多面体的三视图正视图、侧视图、俯视图如图所示，M，N分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若这个多面体的六个顶点A，B，C，，，都在同一个球面上，求这个球的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且，，连接，，矩形中对角线的中点N就是的中点．结合M是的中点证出，由线面平行的判定定理，证出平面．
（2）由平面，得到正方形中可得，结合线面垂直判定定理，证出平面，再由，可得平面；
（3）根据三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，从而得到，同理得，所以点N是多面体的外接球心，得到半径由球的体积公式，即可算出该外接球的体积．
【详解】解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且，，
（1）连接，，由直三棱柱的性质，得平面，
，可得四边形为矩形．
由矩形的性质，得过的中点N．
在中，由中位线性质得，
又平面平面，平面
（2）平面，平面，
在正方形中，可得
又，平面
又，平面
（3）多面体为直三棱柱，
矩形中，
可得，
是直角三角形斜边的中线，
同理可得
是这个多面体的外接球的球心，半径，
外接球的体积
【点睛】本题给出直三棱柱的三视图，求证线面平行、线面垂直并求外接球的体积．着重考查了三角形中位线定理、线面平行垂直的判定与性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
20.已知椭圆C过点，两焦点为，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C与直线交于P，Q两点，且为坐标原点，求证：为定值，并求此定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为
【解析】
【分析】
（1）由题意有，将点A代入椭圆方程，求出a，b；
（2）设出P，Q的坐标，由得，再联立方程分别求出，即可；
【详解】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为；
椭圆C过点得解得舍去，
椭圆C的方程是；
（2）证明：椭圆C的方程可化为①
设椭圆C与直线交于，两点，
则由得②
由得代入①
得，
③
同理由得代入①
得④
将③④代入得，
，
即为定值．
【点睛】本题考查椭圆方程，向量的垂直条件的处理，求代数式为定值的问题，设而不求的方法的应用，属于中档题．
21.
设函数在，处取得极值，且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）在单调递减，在，单调递增．
（Ⅱ）的取值范围为．
【解析】
【详解】解：．①
（Ⅰ）当时，
；
由题意知为方程的两根，所以
．
由，得．
从而，．
当时，；当时，．
故在单调递减，在，单调递增．
（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，
所以．
从而，
由上式及题设知．
考虑，
．
故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．
又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．
所以，即的取值范围为．
22.已知直线l经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为是参数，直线l与圆C交于，两点．
（1）写出直线l的参数方程，圆C的普通方程；
（2）求，两点的距离．
【答案】（1）（为参数），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，消去参数，求得C的普通方程；再根据直线经过点，倾斜角，求出直线l的参数方程．
（2）把l的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得以及，再由直线参数方程中参数的几何意义即可求出结论．
【详解】解：（1）直线l的参数方程为
即为参数
圆的参数方程化为普通方程得．
（2）直线的参数方程代入圆的普通方程得；
即；
，；
．
，两点的距离为：．
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．
23.是否存在实数a，使得不等式有解？若存在，求出实数a的范围；若不存在，说明理由．
【答案】存在，
【解析】
【分析】
画出不等号左边的函数对应图象，结合图象即可求解．
【详解】解：存在，
设；
画出其图象，
；
由图象可知，当时，不等式有解．
故存在实数使得不等式有解．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法以及数形结合思想的应用，属于基础题目．
