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江苏省苏州市实验学校2020届高三上学期模拟考试（一）数学试卷
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数学(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{x|1
3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
(第3题) (第4题)
4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．
6. 在等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线－＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．
8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(，2)，且相邻两条对称轴间的距离为，则f()的值为________．
9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为________．
10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(＋)·＝4 .若AD＝，则·的值为________．
13. 已知函数f(x)＝设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________．
14. 在△ABC中，若sin C＝2cos Acos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
设向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b互相垂直．
(1) 求实数λ的值；
(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：
(1) DE∥平面ACC1A1；
(2) AE⊥平面BCC1B1.
17. (本小题满分14分)
某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．
①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；
②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln x－，a>0.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aa.
(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；
(2) ① 求证：数列{an}为等比数列；
② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．
2019届高三年级第二次模拟考试(十)
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A＝，B＝，AB＝.
(1) 求a，b的值；
(2) 求A的逆矩阵A－1.
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
解不等式：|2x－1|－x≥2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．
(1) 求甲经过点C的概率；
(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23. (本小题满分10分)
平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.
(1) 若n＝3，求T的最小值；
(2) 若n≥4，求证：T≥2C.
数学参考答案
1. {x|1
14.
15. (1) 由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.(2分)
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以(λ2－1)sin2α＝0.(4分)
因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.
又因为λ>0，所以λ＝1.(6分)
(2) 由(1)知a＝(cos α，sin α)．
由a·b＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝.(8分)
因为0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin(α－β)＝－＝－.(10分)
所以tan(α－β)＝＝－，(12分)
因此tan α＝tan(α－β＋β)＝＝.(14分)
16. (1) 连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，
所以四边形AA1B1B是平行四边形．
又因为D是AB1的中点，
所以D也是BA1的中点．(2分)
在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.
又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.(6分)
(2) 由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，
所以BC1⊥DE.(8分)
又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.
又因为AE平面ADE，所以AE⊥BC1.(10分)
在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，
所以AE⊥BC.(12分)
因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，
BC1，BC平面BCC1B1，
所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)
17. 过点O作OH垂直于AB，垂足为H.
在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α.(4分)
由图可知，点P处的观众离点O最远．(5分)
在三角形OAP中，由余弦定理可知
OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos(7分)
＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－cos α－sin α)
＝400(6cos2α＋2sin αcos α＋1)
＝400(3cos 2α＋sin 2α＋4)
＝800sin＋1 600.(10分)
因为α∈，所以当2α＝，即α＝时，
(OP2)max＝800＋1 600，
即OPmax＝20＋20.(12分)
因为20＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．(13分)
故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分)
18. (1) 依题意得解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1.(2分)
(2) 解法一：设直线的方程为y＝k(x－2)，
代入椭圆C的方程，消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
因为直线l交椭圆C于两点，
所以Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，
解得－
则x1＋x2＝，x1x2＝.
①设AB的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝－.(6分)
当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l，
即kQM·k＝·k＝－1.
解得m＝.(8分)
当k＝0时，可得m＝0，符合m＝.
因此m＝.
由0≤k2＝<，解得0≤m<.(10分)
②因为点Q为△FAB的外心，且点F(－1，0)，
所以QA＝QB＝QF.
由(12分)
消去y，得x2－4mx－4m＝0，
所以x1，x2也是此方程的两个根，
所以x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m.(14分)
又因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝－，解得k2＝，
所以m＝＝.(16分)
解法二：①设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)．
依题意两式作差，
得×＝－(x0≠0)．
又因为＝kAB＝，
所以y＝－x0(x0－2)．
当x0＝0时，y0＝0，
符合y＝－x0(x0－2)．(ⅰ)(4分)
又因为QA＝QB，所以QM⊥l，
所以(x0－m)(x0－2)＋(y0－0)(y0－0)＝0，
即y＝－(x0－m)(x0－2)．(ⅱ)(6分)
由(ⅰ)(ⅱ)，解得x0＝2m，
因此y＝2m－2m2.(8分)
因为直线l与椭圆C相交，所以点M在椭圆C内，
所以＋(2m－2m2)<1，解得m<.
又y＝2m－2m2≥0，所以0≤m≤1.
综上，实数m的取值范围是.(10分)
②因为点Q为△FAB的外心，且点F(－1，0)，
所以QA＝QB＝QF.
由消去y，
得x2－4mx－4m＝0.(ⅲ)(12分)
当y0≠0时，则直线l为y＝－(x－2)，代入椭圆的方程，
得(2y＋x)x2－4xx＋4x－4y＝0.
将(ⅰ)代入上式化简得x2－2x0x＋3x0－2＝0.(ⅳ)
当y0＝0时，此时x0＝0，x1＝－，x2＝也满足上式．(14分)
由①可知m＝，代入(ⅲ)化简得x2－2x0x－2x0＝0.(ⅴ)
因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程，
所以3x0－2＝－2x0，解得x0＝，
所以m＝＝.(16分)
19. (1) 当a＝2时，f(x)＝lnx－，f′(x)＝－，则f′(1)＝.
又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝(x－1)，
即x－2y－1＝0.(2分)
(2) 因为f(x)＝ln x－，
所以f′(x)＝－
＝＝，(4分)
且f(1)＝0.因为a>0，所以1－2a<1.
①当4a2－4a≥0，即a≥1时，
因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0，
所以a≥1满足条件．(6分)
②当4a2－4a<0，即0
x2＝1＋2∈(1，＋∞)，
当x∈(1，x2)时，f′(x)<0，
则函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，
所以当x∈(1，x2)时，f(x)
(3) ①当a≥1时，
因为函数f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)不存在极值，
所以a≥1不满足条件；(9分)
②当
由f′(x)＝0，得x1＝1－2∈(0，1)，
x2＝1＋2∈(1，＋∞)．
列表如下：
由于函数f(x)在区间(x1，x2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，
所以
列表如下：
此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意，
所以a＝不满足条件．(12分)
④当0
列表如下：
所以函数f(x)存在极大值f(x1)和极小值f(x2)，(14分)
此时f(x1)－f(x2)＝ln x1－－ln x2＋＝ln－.
因为0
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
20. (1) 因为(a1a2)2＝aa3，所以a＝a1a3，
因此a1，a2，a3成等比数列．(2分)
设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，
所以4a2＝a1＋3a3，即4×＝1＋3×，
于是4t＝1＋3t2，解得t＝1或t＝，
所以＝1或.(4分)
(2) ①因为(a1a2…an)2＝aa，
所以(a1a2…anan＋1)2＝aa，
两式相除得a＝a1·，
即a＝a1a，(*)(6分)
由(*)，得a＝a1a，(**)
(*)(**)两式相除得＝，
即a＝aa，
所以a＝an＋1an＋3，
即a＝anan＋2，n≥2，n∈N*，(8分)
由(1)知a＝a1a3，所以a＝anan＋2，n∈N*，
因此数列{an}为等比数列．(10分)
②当0
因此a1＋a2＋…＋an≤1＋2＋…＋2n－1＝2n－1，
所以0
由a1＋a2＋…＋an≤2n－1，得≤2n－1，
整理得a1qn≤(q－1)2n＋a1－q＋1.(14分)
因为q>2，0
由于>1，因此n
综上，公比q的取值范围为(0，2]．(16分)
21. A. (1) 因为A＝，B＝，AB＝，
所以即(4分)
(2) 因为|A|＝2×3－1×4＝2，(6分)
所以A－1＝＝.(10分)
B. 直线l的参数方程为(t为参数)，化为普通方程为x－y＋2＝0.(2分)
设点P(cos θ，sin θ)，
则点P到直线l的距离d＝＝，(6分)
取θ＝－时，cos＝1，此时d取最大值，
所以距离d的最大值为.(10分)
C. 当x≥时，由2x－1－x≥2，得x≥3.(4分)
当x<时，由1－2x－x≥2，得x≤－.(4分)
综上，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－}．(10分)
22. (1) 设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，
甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C的概率为P1＝×＝.(2分)
同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝×＝.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，
所以P(M)＝P1＋P2＝＋＝.
故甲从进口A开始到出口B经过点C的概率.(4分)
(2) 随机变量可能的取值X＝0，1，2，3，4，(5分)
则P(X＝0)＝C××＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C××＝，
P(X＝4)＝C××＝，(8分)
概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(10分)
23. (1) 当n＝3时，共有6个点，
若染红色的点的个数为0或6，
则T＝C＝20；
若染红色的点的个数为1或5，
则T＝C＝10；
若染红色的点的个数为2或4，
则T＝C＝4；
若染红色的点的个数为3，则T＝C＋C＝2；
因此T的最小值为2.(3分)
(2) 首先证明：任意n，k∈N*，n≥k，有C>C.
证明：因为C－C＝C>0，所以C>C.
设这2n个点中含有p(p∈N，p≤2n)个染红色的点，
①当p∈{0，1，2}时，
T＝C≥C＝
＝4×.
因为n≥4，所以2n－3>n，
所以T>4×＝4C>2C.(5分)
②当p∈{2n－2，2n－1，2n}时，
T＝C≥C，
同理可得T>2C.(6分)
③当3≤p≤2n－3时，
T＝C＋C，
设f(p)＝C＋C，3≤p≤2n－3，
当3≤p≤2n－4时，
f(p＋1)－f(p)＝C＋C－C－C＝C－C，
显然p≠2n－p－1，
当p>2n－p－1即n≤p≤2n－4时，f(p＋1)>f(p)，
当p<2n－p－1即3≤p≤n－1时，f(p＋1)f(4)>…>f(n)；
因此f(p)≥f(n)＝2C，即T≥2C.
综上，当n≥4时，T≥2C.(10分)
数学(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{x|1
3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
(第3题) (第4题)
4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．
6. 在等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线－＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．
8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(，2)，且相邻两条对称轴间的距离为，则f()的值为________．
9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为________．
10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(＋)·＝4 .若AD＝，则·的值为________．
13. 已知函数f(x)＝设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________．
14. 在△ABC中，若sin C＝2cos Acos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
设向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b互相垂直．
(1) 求实数λ的值；
(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：
(1) DE∥平面ACC1A1；
(2) AE⊥平面BCC1B1.
17. (本小题满分14分)
某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．
①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；
②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ln x－，a>0.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aa.
(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；
(2) ① 求证：数列{an}为等比数列；
② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．
2019届高三年级第二次模拟考试(十)
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A＝，B＝，AB＝.
(1) 求a，b的值；
(2) 求A的逆矩阵A－1.
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
解不等式：|2x－1|－x≥2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．
(1) 求甲经过点C的概率；
(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23. (本小题满分10分)
平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.
(1) 若n＝3，求T的最小值；
(2) 若n≥4，求证：T≥2C.
数学参考答案
1. {x|1
14.
15. (1) 由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.(2分)
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以(λ2－1)sin2α＝0.(4分)
因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.
又因为λ>0，所以λ＝1.(6分)
(2) 由(1)知a＝(cos α，sin α)．
由a·b＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos(α－β)＝.(8分)
因为0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin(α－β)＝－＝－.(10分)
所以tan(α－β)＝＝－，(12分)
因此tan α＝tan(α－β＋β)＝＝.(14分)
16. (1) 连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，
所以四边形AA1B1B是平行四边形．
又因为D是AB1的中点，
所以D也是BA1的中点．(2分)
在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.
又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.(6分)
(2) 由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，
所以BC1⊥DE.(8分)
又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.
又因为AE平面ADE，所以AE⊥BC1.(10分)
在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，
所以AE⊥BC.(12分)
因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，
BC1，BC平面BCC1B1，
所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)
17. 过点O作OH垂直于AB，垂足为H.
在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α.(4分)
由图可知，点P处的观众离点O最远．(5分)
在三角形OAP中，由余弦定理可知
OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos(7分)
＝400＋(40cos α)2－2×20×40cos α·(－cos α－sin α)
＝400(6cos2α＋2sin αcos α＋1)
＝400(3cos 2α＋sin 2α＋4)
＝800sin＋1 600.(10分)
因为α∈，所以当2α＝，即α＝时，
(OP2)max＝800＋1 600，
即OPmax＝20＋20.(12分)
因为20＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．(13分)
故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分)
18. (1) 依题意得解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1.(2分)
(2) 解法一：设直线的方程为y＝k(x－2)，
代入椭圆C的方程，消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.
因为直线l交椭圆C于两点，
所以Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，
解得－
则x1＋x2＝，x1x2＝.
①设AB的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝－.(6分)
当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l，
即kQM·k＝·k＝－1.
解得m＝.(8分)
当k＝0时，可得m＝0，符合m＝.
因此m＝.
由0≤k2＝<，解得0≤m<.(10分)
②因为点Q为△FAB的外心，且点F(－1，0)，
所以QA＝QB＝QF.
由(12分)
消去y，得x2－4mx－4m＝0，
所以x1，x2也是此方程的两个根，
所以x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m.(14分)
又因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝－，解得k2＝，
所以m＝＝.(16分)
解法二：①设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)．
依题意两式作差，
得×＝－(x0≠0)．
又因为＝kAB＝，
所以y＝－x0(x0－2)．
当x0＝0时，y0＝0，
符合y＝－x0(x0－2)．(ⅰ)(4分)
又因为QA＝QB，所以QM⊥l，
所以(x0－m)(x0－2)＋(y0－0)(y0－0)＝0，
即y＝－(x0－m)(x0－2)．(ⅱ)(6分)
由(ⅰ)(ⅱ)，解得x0＝2m，
因此y＝2m－2m2.(8分)
因为直线l与椭圆C相交，所以点M在椭圆C内，
所以＋(2m－2m2)<1，解得m<.
又y＝2m－2m2≥0，所以0≤m≤1.
综上，实数m的取值范围是.(10分)
②因为点Q为△FAB的外心，且点F(－1，0)，
所以QA＝QB＝QF.
由消去y，
得x2－4mx－4m＝0.(ⅲ)(12分)
当y0≠0时，则直线l为y＝－(x－2)，代入椭圆的方程，
得(2y＋x)x2－4xx＋4x－4y＝0.
将(ⅰ)代入上式化简得x2－2x0x＋3x0－2＝0.(ⅳ)
当y0＝0时，此时x0＝0，x1＝－，x2＝也满足上式．(14分)
由①可知m＝，代入(ⅲ)化简得x2－2x0x－2x0＝0.(ⅴ)
因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程，
所以3x0－2＝－2x0，解得x0＝，
所以m＝＝.(16分)
19. (1) 当a＝2时，f(x)＝lnx－，f′(x)＝－，则f′(1)＝.
又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y＝(x－1)，
即x－2y－1＝0.(2分)
(2) 因为f(x)＝ln x－，
所以f′(x)＝－
＝＝，(4分)
且f(1)＝0.因为a>0，所以1－2a<1.
①当4a2－4a≥0，即a≥1时，
因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0，
所以a≥1满足条件．(6分)
②当4a2－4a<0，即0
x2＝1＋2∈(1，＋∞)，
当x∈(1，x2)时，f′(x)<0，
则函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，
所以当x∈(1，x2)时，f(x)
(3) ①当a≥1时，
因为函数f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)不存在极值，
所以a≥1不满足条件；(9分)
②当
由f′(x)＝0，得x1＝1－2∈(0，1)，
x2＝1＋2∈(1，＋∞)．
列表如下：
由于函数f(x)在区间(x1，x2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，
所以
列表如下：
此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意，
所以a＝不满足条件．(12分)
④当0
列表如下：
所以函数f(x)存在极大值f(x1)和极小值f(x2)，(14分)
此时f(x1)－f(x2)＝ln x1－－ln x2＋＝ln－.
因为0
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
20. (1) 因为(a1a2)2＝aa3，所以a＝a1a3，
因此a1，a2，a3成等比数列．(2分)
设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，
所以4a2＝a1＋3a3，即4×＝1＋3×，
于是4t＝1＋3t2，解得t＝1或t＝，
所以＝1或.(4分)
(2) ①因为(a1a2…an)2＝aa，
所以(a1a2…anan＋1)2＝aa，
两式相除得a＝a1·，
即a＝a1a，(*)(6分)
由(*)，得a＝a1a，(**)
(*)(**)两式相除得＝，
即a＝aa，
所以a＝an＋1an＋3，
即a＝anan＋2，n≥2，n∈N*，(8分)
由(1)知a＝a1a3，所以a＝anan＋2，n∈N*，
因此数列{an}为等比数列．(10分)
②当0
因此a1＋a2＋…＋an≤1＋2＋…＋2n－1＝2n－1，
所以0
由a1＋a2＋…＋an≤2n－1，得≤2n－1，
整理得a1qn≤(q－1)2n＋a1－q＋1.(14分)
因为q>2，0
由于>1，因此n
综上，公比q的取值范围为(0，2]．(16分)
21. A. (1) 因为A＝，B＝，AB＝，
所以即(4分)
(2) 因为|A|＝2×3－1×4＝2，(6分)
所以A－1＝＝.(10分)
B. 直线l的参数方程为(t为参数)，化为普通方程为x－y＋2＝0.(2分)
设点P(cos θ，sin θ)，
则点P到直线l的距离d＝＝，(6分)
取θ＝－时，cos＝1，此时d取最大值，
所以距离d的最大值为.(10分)
C. 当x≥时，由2x－1－x≥2，得x≥3.(4分)
当x<时，由1－2x－x≥2，得x≤－.(4分)
综上，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－}．(10分)
22. (1) 设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，
甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C的概率为P1＝×＝.(2分)
同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝×＝.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，
所以P(M)＝P1＋P2＝＋＝.
故甲从进口A开始到出口B经过点C的概率.(4分)
(2) 随机变量可能的取值X＝0，1，2，3，4，(5分)
则P(X＝0)＝C××＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C××＝，
P(X＝4)＝C××＝，(8分)
概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(10分)
23. (1) 当n＝3时，共有6个点，
若染红色的点的个数为0或6，
则T＝C＝20；
若染红色的点的个数为1或5，
则T＝C＝10；
若染红色的点的个数为2或4，
则T＝C＝4；
若染红色的点的个数为3，则T＝C＋C＝2；
因此T的最小值为2.(3分)
(2) 首先证明：任意n，k∈N*，n≥k，有C>C.
证明：因为C－C＝C>0，所以C>C.
设这2n个点中含有p(p∈N，p≤2n)个染红色的点，
①当p∈{0，1，2}时，
T＝C≥C＝
＝4×.
因为n≥4，所以2n－3>n，
所以T>4×＝4C>2C.(5分)
②当p∈{2n－2，2n－1，2n}时，
T＝C≥C，
同理可得T>2C.(6分)
③当3≤p≤2n－3时，
T＝C＋C，
设f(p)＝C＋C，3≤p≤2n－3，
当3≤p≤2n－4时，
f(p＋1)－f(p)＝C＋C－C－C＝C－C，
显然p≠2n－p－1，
当p>2n－p－1即n≤p≤2n－4时，f(p＋1)>f(p)，
当p<2n－p－1即3≤p≤n－1时，f(p＋1)
因此f(p)≥f(n)＝2C，即T≥2C.
综上，当n≥4时，T≥2C.(10分)
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