山东省寿光市第二中学2020届高三线上高考模拟题（三）数学试题

寿光二中高三数学高考模拟题(三)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则z的共复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，先判断出对应的复数，然后根据复数除法计算出的值，即可求解出的值.

【详解】由图可知：，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数.

2.已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法以及指数函数的值域求解出，再根据交集概念即可计算出的结果.

【详解】因为，所以或，所以，

又因为，所以，

所以，

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交集运算，属于综合问题，难度一般.

3.若，，，则，，的大小关系是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.

【详解】,

,故,故选D.

【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等．

4.2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（    ）

A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差

【答案】A

【解析】

【分析】

根据中位数、平均数、方差、极差的特点进行判断即可.

【详解】A．去掉最高分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位置（从小到大排列）的那个数，不发生改变；

B．去掉最高分、最低分后，平均数是否发生改变与去掉的分数有关，不能确定是否变化；

C．去掉最高分、最低分后，方差的确定和平均数、数据个数有关，因此方差也不确定；

D．去掉最高分、最低分后，极差可能发生改变，亦可能不改变.

故选：A.

【点睛】本题考查对样本数字特征的理解，难度较易.注意：一组数据（数据个数大于等于）的中位数不会随着这组数据去掉最大、最小值发生改变.

5.函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断大小关系，可得结果.

【详解】由题可知：函数定义为

当时，

当时，

所以可知：原函数在递增，在递减

令，则

当时，

当时，

则在递减，且

在递增，

所以函数在定义域中，函数值均大于

故选：A

【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题.

6.已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.

【详解】设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

7.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.

详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

由斜率为得，，

由正弦定理得,

所以，故选D.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

8.已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（    ）

A.  B. 45 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可

【详解】

解：由图中几何关系可知，,,,

，,∴，即．

则，

答案选C

【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.

9.记为等差数列的前n项和.若，，则下列正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据已知条件，构造关于的方程组，即可求解出的值并完成选项的判断.

【详解】因为，所以，

故选：AC.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易.已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项、公差的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解.

10.已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A. 函数为奇函数

B. 函数在上单调递增

C. 若，则的最小值为

D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【解析】

【分析】

先根据对称轴可得,即,将代入判断函数奇偶性进而判断选项A；先求出的单调增区间,再判断是否为其子集来判断B；将问题转化为符合条件的区间至少包含一个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断C；根据图像变换规则判断D即可

【详解】因为直线是的对称轴,

所以,则,

当时,,则,

对于选项A,,因为,所以为奇函数,故A正确；

对于选项B,,即,当时,在当单调递增,故B错误；

对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；

对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误

故选：AC

【点睛】本题考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键

11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（    ）

A. 沙漏中的细沙体积为

B. 沙漏的体积是

C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm

D. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒（）

【答案】ACD

【解析】

【分析】

A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.

【详解】A．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，

所以细沙的底面半径，所以体积；

B．沙漏的体积；

C．设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，

所以，所以；

D．因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，

所以一个沙时为：秒.

故选：ACD.

【点睛】本题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式.

12.在边长为2的等边三角形中，点分别是边上的点，满足 且，（），将沿直线折到的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（    ）

A. 在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面

B. 存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面

C. 若，当二面角为直二面角时，

D. 在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】

对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，即可判断出结论.

对于B，，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，即可判断出结论.

对于C，，当二面角为直二面角时，取ED的中点M，可得平面.可得，结合余弦定理即可得出.

对于D.在翻折过程中，取平面平面，四棱锥体积，，利用导数研究函数的单调性即可得出.

【详解】对于A.在边上点F，在上取一点N，使得，在上取一点H，使得，作交于点G，如图所示，

则可得平行且等于，即四边形为平行四边形，

∴，而始终与平面相交，

因此在边上不存在点F，使得在翻折过程中，满足平面，A不正确.

对于B，，在翻折过程中，点在底面的射影不可能在交线上，因此不满足平面平面，因此B不正确.

对于C.，当二面角为直二面角时，取的中点M，如图所示：

可得平面，

则，因此C不正确；

对于D.在翻折过程中，取平面AED⊥平面BCDE，四棱锥体积，，，可得时，函数取得最大值，因此D正确.

综上所述，不成立的为ABC.

故选：ABC.

【点睛】本题考查了利用运动观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在的展开式中常数项等于___

【答案】9

【解析】

【分析】

先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．

【详解】二项式的展开式的通项为，

∴中的常数项为．

故答案为9．

【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．

14.对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：

①离心率为2；②一条渐近线倾斜角为；③实轴长为4，且焦点在x轴上.

写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.

【答案】①②或；①③；②③

【解析】

【分析】

选①②：根据之间的比值关系确定出双曲线方程；

选①③：根据离心率以及的值确定出双曲线的方程；

选②③：根据以及的值确定出双曲线的方程.

【详解】若选①②：若双曲线的焦点在轴上，则设双曲线方程为，

所以，所以，所以双曲线方程为，

若双曲线的焦点在轴上，则设双曲线方程为，

所以，所以，所以双曲线方程为；

若选①③：因为，所以，所以，所以双曲线方程为：；

若选②③：因为，所以，所以双曲线方程为：.

故答案为：(或或或).

【点睛】本题考查根据已知条件求解双曲线的方程，着重考查双曲线几何性质中的离心率、渐近线知识，难度一般.一般求解双曲线的标准方程时，注意观察双曲线的焦点位置并假设方程.

15.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下5个圆环需最少移动________次.

【答案】16

【解析】

【分析】

根据已知的数列递推公式，得到与的等量关系，即可计算出解下个圆环需最少移动的次数.

【详解】因为，

所以，

所以解下个圆环需最少移动的次数为.

故答案为：.

【点睛】本题考查递推数列的简单应用，难度较易.解答问题的关键是能根据的奇偶选择合适的递推公式进行计算.

16.已知集合.给定一个函数，定义集合    若对任意的成立，则称该函数具有性质“”

(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 _____；

(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）

【答案】    (1). （答案不唯一）    (2). ①②

【解析】

【分析】

(I)根据题意，只需找到满足题中条件的函数即可，如；

(Ⅱ)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果.

【详解】(I)对于解析式：，因为

，，…符合．

(Ⅱ) 对于①，，…，循环下去，符合；

对于②，，，…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合，

对于③，，，，不符合，

所以，选①②

【点睛】本题主要考查集合的交集以及函数值域问题，熟记交集的概念，掌握求函数值域的方法即可，属于常考题型.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列的前n项和为，.

（1）求的通项公式；

（2）设，记为数列的前n项和.若，求.

【答案】（1）；（2）；

【解析】

【分析】

（1）利用等差数列通项公式以及数列的求和公式，求出数列的首项以及公差，然后求解通项公式.

（2）说明数列是等比数列，然后求解数列和，求解即可.

【详解】（1）设的首项为，公差为，

由已知得，解得.

所以.

（2）因为，由（1）可得，

∴是首项为4，公比为2的等比数列，

则.

由，得，

解得.

【点睛】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，考查计算能力，属于基础题.

18.在平面四边形中，中边所对的角为A，中边所对的角为，已知，.

（1）试问是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；

（2）记与的面积分别为和，求出的最大值.

【答案】（1）为定值1.（2）14

【解析】

【分析】

（1）由已知结合余弦定理，分别表示，从而建立关于的三角关系，化简可求；

（2）结合三角形的面积及（1）的结论进行化简可求.

【详解】（1）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

所以，

则，

∴；

所以为定值1.

（2），，

则，

由（1）可知，

代入上式得，

配方得，

∴当时，取到最大14.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数的关系在求解三角形中的应用，属于中档题.

19.已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．

（Ⅰ）求证：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面的法向量，和平面的法向量，从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段上存在满足题意的点，直线与平面法向量的夹角为，设，，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点.

【详解】（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，

是的中点，

所以 .

又因为平面，平面，

所以.

，平面，

所以面.

（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

，，

设平面的法向量为

所以，即

令，则 ，

又平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

所以平面与平面所成锐二面角为.

（Ⅲ）假设线段上存在点，

使得直线与平面所成角为，

即直线与平面法向量所成的角为，

设，，

，

所以

所以，

整理得，

，方程无解，

所以，不存在这样的点.

【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.

20.已知抛物线，直线与抛物线C交于A，B两点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】

【分析】

（1）联立直线与抛物线，再根据弦长公式以及即可计算出的值，从而的方程可求；

（2）根据过弦的中点垂直于弦的直线过圆心、圆心到弦的距离的平方加上半弦长的平方等于半径的平方，得到关于圆心坐标的方程组，求解出圆心即可求解出圆的方程.

【详解】解：（1）由，

得，

设，，则，

，

即，解得，

所以抛物线C的方程；

（2）由（1）得，，即AB的中点坐标为，

则AB的中垂线方程为，即.

设所求圆的圆心坐标为，则

，解得或，

因此所求圆的方程为或

【点睛】本题考查直线与圆、抛物线的综合应用，难度一般.（1）根据条件求解圆的方程时，注意借助圆的几何性质完成解答：圆心与弦中点连线垂直且平分弦、半径平方等于圆心到直线距离的平方加上半弦长的平方；（2）常见的弦长公式：，.

21.已知函数，，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ），使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求证：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：第一问根据题意将问题转化为在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，之后根据函数的单调性求得相应的最值，第二问转化不等式，将问题转化为一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，从而求得结果．

试题解析：（Ⅰ） 由题意，，使得不等式成立，

等价于．1分

，

当时，，故在区间上单调递增，

所以时，取得最大值1．即

又当时，，

所以在上单调递减，所以，

故在区间上单调递减，因此，时，．

所以，则．

实数的取值范围是．

（Ⅱ）当时，要证，只要证，

即证，由于，

只要证．

下面证明时，不等式成立．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当且仅当时，取最小值为1．

法一：，则，即，即，

由三角函数的有界性，，即，所以，而，

但当时，；时，

所以，，即

综上所述，当时，成立．

法二：令，其可看作点与点连线的斜率，

所以直线的方程为：，

由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，

当直线与圆相切且切点在第二象限时，

直线取得斜率的最大值为．而当时，；

时，．所以，，即

综上所述，当时，成立．

法三：令，则，

当时，取得最大值1，而，

但当时，；时，

所以，，即

综上所述，当时，成立．

考点：等价转化的思想，恒成立问题的解决方法．

22.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：

（i）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？

（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？

附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，.

【答案】（1）17.40千元；（2）（i）14.77千元.（ii）978人.

【解析】

【分析】

（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的；

（2）（i）根据的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；

（ii）根据的数值判断出每个农民年收入不少于千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有个农民年收入不少于”中的最大值即可.

【详解】解：（1）千元

故估计50位农民的年平均收入为17.40千元；

（2）由题意知

（i），

所以时，满足题意，

即最低年收入大约为14.77千元.

（ii）由，

每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，

记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，

则，其中，

于是恰好有k个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为，

从而由

得，而，

所以，当时，，

当时，，

由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.

【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.