2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷

2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．0.2 D．﹣0.2
2．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝2 B．a2•2a﹣2＝2
C．a2÷a＝1 D．（﹣2a）3＝﹣6a3
3．下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（　　）
A．圆锥B．正方体 C．正三棱柱D．圆柱体
4．新冠肺炎疫情突袭，防疫物资紧缺成为各国亟待解决的难题．我国在保障国内防控需求的基础上，尽己所能不断对外输送防疫物资，为国际社会共同抗击疫情提供了巨大支持和坚强保障．据悉，自3月1日至4月30日，全国共验放出口主要防疫物资价值712亿元．712亿用科学记数法表示为（　　）
A．712×108 B．7.12×108 C．71.2×1010 D．7.12×1010
5．如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（　　）

A．25° B．35° C．40° D．60°
6．如表是某校合唱团成员的年龄分布统计，则这组数据（年龄）的中位数是（　　）
年龄
13
14
15
16
频数
5
7﹣a
13
a
A．13 B．14 C．15 D．16
7．如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．5 B．4 C．2 D．3
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为C，已知﹣2≤c≤﹣1，顶点坐标为（1，n），则下列结论正确的是（　　）

A．a+b＞0
B．
C．对于任意实数m，不等式a+b＞am2+bm恒成立
D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根
10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　）

A．+1 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．分解因式：a2b﹣4b3＝　 　．
12．在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是　 　．
13．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为　 　．
14．平面直角坐标系中，以点P（2，a）为圆心的⊙P与y轴相切，直线y＝x与⊙P相交于点A、B，且AB的长为2，则a的值为　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（）﹣2﹣（﹣）×+|2cos30°﹣2|．
16．（8分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金银一枚各重几何？意思是：今有黄金9枚（每枚黄金重量相同），白银11枚（每枚白银重量相同）．黄金与白银的重量恰好相等，互相交换1枚后，黄金部分减轻了13两，问每枚黄金、白银各重多少两？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）将△ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△C1DA1，使△C1DA1≌△ABC且点D在A1C1的右侧；
（3）填空：sin∠B1C1D＝　 　．

18．（8分）我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．

（1）观察以上图形并完成如表：
根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为　 　．（用含?的式子表示）
图形名称
基本图形的个数
特征图形的个数
图1
1
1
图2
2
3
图3
3
7
图4
4

……
……
……
（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是　 　；图2020中所有特征图形的面积之和为　 　．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，坡AB的坡度为1：2.4，坡面长26米，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE（请将下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）恰为45°，则此时平台DE的长为　 　米；
（2）坡前有一建筑物GH，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物GH高为多少米？

20．（10分）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长．

六、（本题满分12分）
21．（12分）某校为了解学生零用钱支出情况，从七、八、九年级800名学生中随机抽取部分学生，对他们今年5月份的零用钱支出情况进行调查统计，并绘制成如下统计图表：
组别
零用钱支出x（单位：元）
频数（人数）
频率
节俭型
一
x＜20
m
0.05
二
20≤x＜30
4
a
富足型
三
30≤x＜40
n
0.45
四
40≤x＜50
12
b
奢侈型
五
x≥50
4
c
合计

1
（1）表中a+b+c＝　 　；m＝　 　；本次调查共随机抽取了　 　名同学；
（2）在扇形统计图中，“富足型”对应的扇形的圆心角的度数是　 　；
（3）估计今年5月份全校零花钱支出在30≤x＜40范围内的学生人数；
（4）在抽样的“奢侈型”学生中，有2名女生和2名男生．学校团委计划从中随机抽取2名同学参加“绿苗理财计划”活动，请运用树状图或者列表说明恰好抽到一男一女的概率．

七、（本题满分12分）
22．（12分）在“6•18”活动中，某网店拿出当季新款鞋30双参加网络拼团促销：若拼团一次性购买不超过10双，则每双售价300元；若拼团一次性购买超过10双，则每多买一双，所买的每双鞋的售价均降低3元．已知该新款鞋的进价是200元/双，设顾客拼团一次性购买鞋x双，该鞋店可获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）顾客拼团一次性购买多少双时，该鞋店获利最多？
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）若AE＝DA，求证：△ABE≌△DFA．
（2）若AB＝6，AD＝8，且E为BC中点．
①如图2，连接CF，求sin∠DCF的值．
②如图3，连接AC交DF于点M，求CM：AM的值．


2020年安徽省马鞍山市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．
1．解：﹣5的绝对值是|﹣5|＝5．
故选：B．
2．解：A、3a2﹣a2＝2a2，故错误；
B、a2•2a﹣2＝2，故正确；
C、a2÷a＝a，故错误；
D、（﹣2a）3＝﹣8a3，故错误；
故选：B．
3．解：A、圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形，不符合题意；
B、正方体的主视图和左视图均为全等的正方形，不符合题意；
C、三棱柱的主视图和左视图为不全等的长方形，符合题意；
D、圆柱的主视图和左视图均为全等的长方形，不符合题意；
故选：C．
4．解：将712亿＝71200000000用科学记数法表示为：7.12×1010．
故选：D．
5．解：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠1＝110°，
∵∠EDB＝∠A+∠AED，
∴110°＝∠A+70°，
∴∠A＝40°，
故选：C．
6．解：由表可知，年龄为14岁与年龄为16岁的频数和为7﹣a+a＝7，
则总人数为：5+7+13＝25人，
把这些数从小到大排列，则中位数是15岁，
故选：C．
7．解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），
点B的坐标（t，），
BC＝+，
则（+）×t＝3，
解得k＝5，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，
∵AE⊥BC，
∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，
∴＝＝，
设BC＝x，则OB＝2x，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴BC＝，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；
故选：A．
9．解：A、∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴a+b+c＝n，
∴a+b＝n﹣c，
由图象可知：抛物线开口向上，有最小值是n，
∴n＜c，
∴a+b＝n﹣c＜0，结论A错误；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a
∵﹣2≤c≤﹣1，
∴﹣2≤﹣3a≤﹣1，
∴，结论B正确；
③∵a＞0，顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c，且n≤ax2+bx+c，
∴对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，结论C错误；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个交点，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根，结论D错误．
故选：B．
10．解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，
∴OE＝AE＝AB＝1，
DE＝＝＝，
∴OD的最大值为：+1．
故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．解：a2b﹣4b3
＝b（a2﹣4b2）
＝b（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为b（a+2b）（a﹣2b）．
12．解：设该医疗器械这两年的平均降价率是x，依题意有
（1﹣x）2＝（1﹣20%）×（1﹣80%），
解得x1＝60%，x2＝140%（舍去）．
故该医疗器械这两年的平均降价率是60%．
故答案为：60%．
13．解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）＝0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）＝1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
x1＜a＜b＜x2，
故答案为：x1＜a＜b＜x2．

14．解：设⊙P与y轴相切于点C，连接PC，则有PC⊥OC．
∵点P的坐标为（2，a），∴PC＝2．
①若点P在直线y＝x上方，如图1，
连接CP并延长交直线y＝x于点E，则有CE＝OC．
∵CE⊥OC，CE＝OC，
∴∠COE＝∠CEO＝45°．
过点P作PD⊥AB于D，
由垂径定理可得：AD＝BD＝AB＝×2＝．
在Rt△ADP中，
PD＝＝＝1．
在Rt△PDE中，
sin∠PED＝＝＝，
解得：PE＝．
∴OC＝CE＝CP+PE＝2+．
∴a＝2+．
②若点P在直线y＝x下方，如图2，
连接PC，过点P作PD⊥AB于D，
过点P作x轴的垂线交x轴与点M，交AB于点N，
同理可得：OM＝MN，PD＝1，PN＝．
∵∠PCO＝∠COM＝∠PMO＝90°，
∴四边形PCOM是矩形．
∴OM＝PC＝2，OC＝PM．
∴OC＝PM＝MN﹣PN＝OM﹣PN＝2﹣．
∴a＝2﹣．
故答案为：2+或2﹣．


三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式＝4+2+2﹣
＝6+．
16．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得：．
即每枚黄金重两，每枚白银重两．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△C1DA1即为所求；

（3）如图所示，过B1作B1H⊥C1D，则
×B1D×2＝×C1D×B1H，
即B1H＝＝，
∴Rt△B1C1H中，sin∠B1C1D＝＝．
故答案为：．
18．解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数7＝3+4×（3﹣2），
图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）＝11，
∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，
∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）＝4n﹣5，
故答案为：4n﹣5．

（2）如图2中，图形的面积＝2×2﹣×2＝，
图2020中所有特征图形的面积之和为＝2020×2﹣2019××2＝，
故答案为，．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角＝45°，坡AB的坡度为1：2.4，坡面长26米，D为AB的中点，
∴BC＝10，AC＝24，AD＝BD＝13，
∴BF＝CF＝EF＝BC＝5，DF＝AC＝12，
故：DE＝DF﹣EF＝12﹣5＝7（米）；
则平台DE的长为7m，
故答案为：7；

（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP＝CF＝5，
PA＝AC＝12，
在矩形DPGM中，MG＝DP＝12，DM＝PG＝12+AG，
在Rt△DMH中，
HM＝DM•tan30°＝×（12+AG），
GH＝HM+MG＝×（12+AG）+5，
∵∠HAG＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：AG＝，
∴HG＝AG＝≈17.9（米），
答：建筑物GH高约为17.9米．

20．（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE＝90°，
∴∠EAB+∠E＝90°．
∵∠E＝∠C，∠C＝∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD＝90°．
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：由（1）可知∠ABE＝90°，直径AE＝2AO＝6，AB＝4，
∴．
∵∠E＝∠C＝∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD＝cos∠E．
∴．
∴．

六、（本题满分12分）
21．解：（1）表中a+b+c＝1﹣（0.05+0.45）＝0.5；本次调查的总人数为（4+12+4）÷0.5＝40（人），
m＝40×0.05＝2，
故答案为：0.5，2，40；
（2）n＝40×0.45＝6，
∴“富足型”对应的扇形的圆心角的度数是360°×＝162°；
故答案为：162°；
（3）估计该校今年5月份零用钱支出在“30≤x＜40范围的学生人数约为800×＝120（人）；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率＝＝．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）由题意可得，
当0≤x≤10时，y＝（300﹣200）x＝100x，
当10＜x≤30时，y＝[300﹣200﹣3（x﹣10）]x＝﹣3x2+130x，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）∵当0≤x≤10时，y＝100x，
∴当x＝10时，y取得最大值1000，
∵当10＜x≤30时，y＝﹣3x2+130x＝﹣3（x﹣）2+，
∴当x＝＝21时，y取得最大值，
∵x为整数，
∴当x＝22时，y取得最大值1408，
∵1000＜1408，
∴当x＝22时，该鞋店获利最多，
答：拼团一次性购买22双时，该鞋店获利最多．
八、（本题满分14分）
23．（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠B＝∠AFD＝90°，
∵AD＝AE，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．

（2）①解：如图2中，过点F作FH⊥CD于H，FJ⊥AD于J．

∵四边形ABCD是矩形，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
∴∠B＝90°，
∵BE＝EC＝4，
∴AE＝＝＝2，
∵∠DAF＝∠AEB，∠B＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DF＝，AF＝，
∵FJ⊥AD，
∴FJ＝DH＝＝，DJ＝FH＝＝＝，
∴CH＝CD﹣DH＝6﹣＝，
∴CF＝＝＝6，
∴sin∠DCF＝＝＝．

②解：如图3中，延长DF交CB的延长线于K．

∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，
∴△KEF∽△AEB，
∴＝，
∴＝，
∴KE＝5，
∴CK＝KE+EC＝9，
∵AD∥CK，
∴＝＝．