2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷3 （解析版）

2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷3 （解析版）

(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)

一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．已知集合A＝{x|(x－4)(x＋2)<0}，B＝{－3，－1,1,3,5}则A∩B＝(　　)

A．{－1,1,3}   B．{－3，－1,1,3}

C．{－1,1,3,5}   D．{－3,5}

A　[因为A＝{x|(x－4)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<4}，B＝{－3，－1,1,3,5}，所以A∩B＝{－1,1,3}，故选A.]

2．若实数b满足：(3＋bi)(1＋i)－2是纯虚数，则实数b＝(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

C　[(3＋bi)(1＋i)－2＝1－b＋(b＋3)i是纯虚数，所以1－b＝0，b＝1.]

3．函数f(x)＝＋ 的定义域为(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－∞，0)

C．(0,2)   D．[0,2]

D　[由，得0≤x≤2，故选D.]

4．已知向量a＝(1,3)，向量b＝(x，－1)，若a⊥b，则实数x的值为(　　)

A．－3   B．3

C．－1   D．1

B　[由于两个向量垂直，故a·b＝x－3＝0，x＝3.]

5．取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是(　　)

A.  B.  C.  D．不确定

B　[P＝.]

6．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2的直线方程是(　　)

A．x－y＋2＝0   B．x－y－2＝0

C．x＋y－2＝0   D．x＋y＋2＝0

A　[易知k＝1，则直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.]

7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)

A.π   B．2π

C．3π   D．4π

A　[由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为2×π×2＋2π××1＝π，故选A.]

8．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0

B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0

C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0

D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0

D　[根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”，故选D.]

9．把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，再把y＝g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为(　　)

A．y＝2sin   B．y＝2sin

C．y＝sin   D．y＝sin

A　[把函数y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝g(x)＝sin的图象，再把y＝g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y＝2sin，故选A.]

10．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为(　　)

A．x2＝y或x2＝－y

B．x2＝y

C．y2＝－9x或x2＝y

D．x2＝－y或y2＝9x

D　[当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝mx，

则9＝m，即y2＝9x，

当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝my，则1＝－3m，m＝－，故x2＝－y，故选D.]

11．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A．5   B．10

C.   D.

D　[因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，

令x＝0得y＝.令y＝0得x＝5，

故S△＝××5＝.]

12．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于(　　)

A.  B.  C.  D.

D　[由正弦定理得2sin Asin B＝sin B，即sin A＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.]

13．函数f(x)＝ln|x|＋的图象大致为(　　)

A　[由四个选项的图象可知f(1)＝1，令x＝，f＝－1＋e>1＝f(1)，由此排除C选项．令x＝e，f(e)＝1＋>1＝f(1)，由此排除B选项．由于f(－e100)＝100－>0，排除D选项．故选A.]

14．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)

A．2   B．3  C．4   D．5

C　[将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号．故选C.]

15．已知函数f(x)＝x3－4x＋2ex－，其中e是自然对数的底，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]   B.

C.   D.

D　[由f′(x)＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2＝x2≥0，知f(x)在R上单调递增，且f(－x)＝－x3＋4x＋2e－x－2ex＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔a－1≤－2a2⇔2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤.故选D.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)

16．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．

16　[40×＝16.]

17．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是________．

　[两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个球，共有以下6个结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中恰有一个红球的结果有4个，故所求的概率为＝.]

18．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，则tan C＝________.

－2　[△ABC中，∵3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，

∴cos C＝＝＝－，

∴sin C＝＝，

故tan C＝＝－2.]

19．如图，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限且∠PF1F2＝120°，△PF1F2的面积为________．

　[由已知，得a＝2，b＝，

所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.

在△PF1F2中，由余弦定理，得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，

即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|.②

将②代入①，得|PF1|＝.

所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin 120°＝××2×＝.]

三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;  

(2)AF⊥平面EDB.

 [证明]　(1)∵F是BE的中点，取BA的中点M，连接CM，FM，∴FM∥EA，

FM＝EA＝a，

∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝a＝FM，

∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC

∴FD∥平面ABC.

(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB，

又EA垂直于平面ABC，∴CM⊥AE，

又AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB

∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，因F是BE的中点，EA＝AB，所以AF⊥EB.

EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB.

21．已知公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn.

[解]　(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由题可知a1·a13＝a，

即3(3＋12d)＝(3＋3d)2，解得d＝2，

则an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.

(2)由上述推理知Sn＝n(n＋2)，

则Tn＝＋＋＋…＋

＝

＝

＝－－

＝－.