2020届中原金科大联考高三4月质量检测数学（文）试题（解析版）
展开2020届中原金科大联考高三4月质量检测数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求出集合中不等式的解集，找出和的交集即可.
【详解】
解：，，
，
故选：D.
【点睛】
本题考查交集及其运算以及解一元二次不等式，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2．复数满足为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【答案】B
【解析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由，
得z，
∴，
∴在复平面内z的共轭复数所对应的点为．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义．
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为（ ）
A．60% B．50% C．30% D．10%
【答案】C
【解析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】
解：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，
则甲、乙下成平局的概率为：80%﹣50%＝30%．
故选：C．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力．
4．值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用二倍角的正弦化简求值.
【详解】
由题意，
故选：
【点睛】
本题考查三角函数二倍角公式，属于基础题.
5．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，而，推不出，得出结论．
【详解】
解：，
而，推不出，
故“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A．
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判断，涉及指对数函数的定义域.
6．若，，（），则t＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量的坐标运算和向量的平行的条件即可求出．
【详解】
解：若，
则，
则，
解得.
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的坐标公式．
7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平栘个单位
【答案】C
【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的图象变换规律以及诱导公式．
8．某单位为了了解用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（℃） | ﹣1 | 10 | 13 | 18 |
用电量（度） | 64 | 38 | 34 | 24 |
由表中数据得线性回归方程，预测当气温为﹣4℃时用电量度数为（ ）
A．65 B．67 C．78 D．82
【答案】D
【解析】先求出样本中心点为，然后将其代入，得到，从而得到线性回归方程为，再把代入，求出即可得解．
【详解】
解：，，
把样本中心点代入，
得：，
所以，
即，
当时，
.
故选：D．
【点睛】
本题考查线性回归方程的特征，样本中心点一定在回归直线上．
9．某船从A处向东偏北30°方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）
A．1千米 B．2千米 C．3千米 D．6千米
【答案】A
【解析】画出方向向量，利用余弦定理，列方程求解即可.
【详解】
解：如图所示，
中，，
由余弦定理可得：
，
解得，
所以处与处之间的距离为1千米．
故选：A．
【点睛】
本题考查解三角形的应用问题，涉及余弦定理解三角形，也考查了求解运算能力．
10．设m为一条直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
【答案】C
【解析】在中，或；在中，与相交、平行或；在中，由线面垂直的判定定理得；在中，与相交、平行或．
【详解】
解：由为一条直线，，为两个不同的平面，知：
在中，若，，则或，故错误；
在中，若，，则与相交、平行或，故错误；
在中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故正确；
在中，若，，则与相交、平行或，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
11．已知定义在上的奇函数满足，当，时，，则（）.
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】利用函数的周期性可知，利用奇函数的性质可知，进而由已知范围的解析式得解．
【详解】
解：依题意，函数的周期为3，
故，
又，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查利用函数周期性及奇偶性求函数值，考查运算能力．
12．双曲线的上焦点为，点的坐标为，点为双曲线下支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意可得，可得的最小值为5，设为双曲线的下焦点，由双曲线的定义可得的最小值为4，当，，三点共线时，取得最小值，可得，由离心率公式可得所求值．
【详解】
解：双曲线的上焦点为，，点的坐标为，
，三角形的周长的最小值为8，
可得的最小值为5，
又为双曲线的左焦点，
可得，
当，，三点共线时，
取得最小值，且为，
即有，
即，，
可得．
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力．
二、填空题
13．高一、高二、高三三个年级共有学生1800人，其中高一共有学生800人，现用分层抽样的方法抽取90人作为样本，则应抽取高一学生为_____人．
【答案】40
【解析】利用分层抽样性质直接求解．
【详解】
解：高一、高二、高三三个年级共有学生1800人，其中高一共有学生800人，
现用分层抽样的方法抽取90人作为样本，
则应抽取高一学生为．
故答案为：40．
【点睛】
本题考查分层抽样的应用，考查运算求解能力．
14．在中，角、、所对的边分别为，，．若，，，则的面积为_____．
【答案】
【解析】由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式即可求解．
【详解】
由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，
则．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的简单应用．
15．若，满足约束条件，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．
【详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
令，，
显然当平行直线过点，时，
取得最小值为：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查线性规划求最小值问题，我们常用几何法求最值.
16．在矩形中，已知，，为上一点．
（1）若，则_____；
（2）若，则_____．
【答案】
【解析】（1）可以点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，并设，从而得出，然后根据即可得出点的坐标，从而得出的长度；
（2）根据即可得出，并根据条件求出，从而得出，然后在中，根据余弦定理即可求出，从而可求出的值．
【详解】
解：以点为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，，，，设，
（1），
，
，
解得，
，
；
（2），
，且，，
，且，，
在中，根据余弦定理得：
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量的问题的方法，以及余弦定理和直角三角形的边角关系，考查了计算能力．
三、解答题
17．已知等比数列的首项，且成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
（2）由对数的运算性质可得，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
【详解】
解：（1）等比数列的首项，公比设为，
成等差数列，
可得，
即有，
解得，
则，
（2），
则，
前项和．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查方程思想和化简运算能力．
18．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中
（1）求的值；
（2）若按照分层抽样的方式从中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在，的概率．
【答案】（1）0.030， 0.015．（2）
【解析】（1）由频率分布直方图列出方程组，由此能求出．
（2）两段频率比为，按照分层抽样的方式从中随机抽取5人，分数在中抽取2人，记为，分数在中抽取3人，记为，，，从这5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有1人的分数在的概率．
【详解】
解：（1）由频率分布直方图得：
，
，
又，
解得，．
（2），，，两段频率比为，
按照分层抽样的方式从，，，中随机抽取5人，
分数在，中抽取2人，记为，，
分数在，中抽取3人，记为，，，
从这5人中随机抽取2人的所有情况为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共10个，
其中，至少有1人的分数在，包含的基本事件有7个，
至少有1人的分数在，的概率．
【点睛】
本题考查古典概型概率的求法，考查频率分布直方图、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力．
19．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．
（1）求证：；
（2）当平面时，若三棱锥的体积为，求值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）由，，，得平面，由此能证明；
（2）由平面，得，由是中点，得，，由平面，得平面，由此利用三棱锥的体积为，能求出．
【详解】
解：（1）在三棱锥中，
，，，
平面，
平面，
，
（2）平面，平面平面，平面，
，
是中点，，
因为，所以，故，
由（1）知平面，
平面，
三棱锥的体积为，
三棱锥的体积，
解得．
【点睛】
本题考查线线垂直的判定和三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．
20．已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若，证明：当时，．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）把代入函数解析式，求得导函数，得到，求得，再由直线方程的点斜式得答案；
（2）求出函数的导函数，进行二次求导，可得原函数的单调性，再由函数的单调性证明当时，．
【详解】
解：当时，
，，
，，
函数的图象在处的切线方程，
即；
（2）证明：，
令，
则，
，
当时，
，即且不恒为零．
在，上是增函数，
故，即，
在，上是增函数，
，即．
故若，则当时，．
【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数单调性和求最值．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，，的中点为，的中点为，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意列出方程组，解出和的值即可得解；
（2）设直线的方程为，，则直线方程为，然后分别联立直线和椭圆的方程，以及直线和椭圆的方程，再结合韦达定理得到，从而得到点的坐标，因此，最后结合均值不等式即可求得面积最大值．
【详解】
解：（1）由题可知，，
解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，
联立，
消去得，
所以，
因为的中点为，
所以，，
因为直线的斜率为，且与的斜率乘积为，
所以直线方程为，
同理可得，，
所以，
所以的中点为．
因此．
当且仅当，即时取等号，
故△OMN面积的最大值为．
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程、曲直联立、中点坐标公式、面积公式、均值不等式等，考查学生的分析能力和运算能力．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为A，与y轴的交点为B，P是曲线C上一点，求面积的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）用消参数法可得曲线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）求出两点坐标，得，到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上圆的半径，由此可得面积最大值．
【详解】
（1）由得，这是曲线的普通方程，
由得，∴，即．
（2）由（1）知直线与坐标轴的交点为，，
圆方程为，圆心为，半径为，点在圆上，
圆心到直线的距离为，
到直线的距离的最大值为，又，
∴．
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程用消参数法可化为普通方程，利用公式可进行极坐标方程与直角坐标方程的互化．
23．已知，不等式的解集是．
（1）求的值；
（2）若存在实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意可得，再分，及讨论即可得出结论；
（2）利用不等式的性质可知，，由此即可求得的取值范围．
【详解】
解：（1）由，
得，
即，
当时，，不合题意，
当时，，
则，
解得，符合题意，
当时，，
则，无解，
综上，；
（2）因为，
要使存在实数解，只需，
实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的恒成立问题．
