2020届浙江省杭州建人高复高三下学期4月模拟测试 数学
展开杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件互斥，那么 柱体的体积公式
；
如果事件相互独立，那么 椎体的体积公式
；
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 球的表面积公式
次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率
(k = 0,1,…,n). 球的体积公式
台体的体积公式
选择题部分（共40分）
一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1、已知全集，集合，，则（）
A、 B、 C、 D、
2、已知是虚数单位，，则“”是“”的（）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
4、如果正数满足，那么（ ）
A. ，且等号成立时的取值唯一
B. ，且等号成立时的取值唯一
C. ，且等号成立时的取值不唯一
D. ，且等号成立时的取值不唯一
5、设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．[来源:
6、已知实数,满足则的最小值是
A.5－ B.4－ C.－1 D.5
7、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，
令⊙ 下面说法错误的是
A. 若与共线，则⊙
B. ⊙⊙
C. 对任意的⊙⊙
D. ⊙
8、对于给定正数，定义，设，对任意和任意恒有，则( )
A．的最大值为2 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为1
9、如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）
A. B.
C. D.
10、设函数的最大值为，最小值为，则（）
A、 B、
C、 D、
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11、已知，若，则______；
12、已知方程，若该方程表示椭圆方程，则的取值范围是_______;
13、已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______．
14、将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______； 若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为______；
（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1,3行字母不同，该情况下）
a | b |
c | c |
a | b |
15 、已知正四面体和平面，，正四面体绕边旋转，当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为______
16、双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点， 且，延长交双曲线右支于点，若，则该双曲线的离心率为_________
17、已知都是单位向量，且，则的最小值为_____;最大值为________
三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
18.（本小题14分）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ．
Ⅰ 求角 的大小；
Ⅱ 求 的取值范围．
19. （本小题15分）
如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20. （本小题15分）
已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：
21. （本小题15分）
已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点
（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。
（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；
22. （本小题15分）
已知函数其函数图像与轴交于，且
（1）求的取值范围；
（2）求证：；
（3）若也在图像上，且为正三角形，记，求的值
数学答案
选择题 AACAC ABBBD
11、，
12、
13、10，
14、，（填0.6也对）
15、
16、
17、，
18、在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ．
Ⅰ 求角 的大小；
Ⅱ 求 的取值范围．
（1）由题意
（2）
19、如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
易得,所以，因此,从而得（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.
20、已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且
（1）求{}的通项公式；
（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：
解析：（1）由，因此
由
得，又，得
从而{}是首项为2公差为3的等差数列，故{}的通项公式为
（2）由可得，从而
=
于是
21、已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点
（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。
（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；
【解析】（1）设直线
联立直线与抛物线方程得：
易得：
直线与之间的距离为
令，可得
所以该正方形的边长为或
面积为或；
（2）设，（由对称性不妨设）
则处的切线方程为：，与直线交点记为M，则
则处的切线方程为：，与直线交点记为N，则
两条切线交点P
于是
当时取到等号
所以该三角形面积的最小值为
22、已知函数其函数图像与轴交于，且
（1）求的取值范围；
（2）求证：；
（3）若也在图像上，且为正三角形，记，求的值
【解析】（1）
若，则，函数在上单调递增，这与题设矛盾；
易知在上单调递减，在上单调递增
且
（2）先证：
由于，又在上单调递增
所以欲证：
只需证：
只需证：
由于
只需证：
只需证：
构造：，
在上单调递增，又
所以当，
于是
综上可得：
所以，
所以
（3）由
由为正三角形且也在图像上可知：
即
即
两边同除以有：
即
由于，所以
于是：
整理可得：
所以
