2020届“四省八校”高三第一次教学质量检测数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先求，再求即可
【详解】
解：由题可得，，，故．
答案选C
【点睛】
本题考查集合的混合运算，是基础题，有括号先算括号
2．已知命题，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知全称符号应改成存在符号，再对命题结论进行否定即可
【详解】
全称命题的否定一要改量词，二要改结论．即
答案选C
【点睛】
本题考查全称命题的否定改写，全称改存在，再否定结论
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于底数的不确定性，需先对进行分类讨论，再确定答案的正确性
【详解】
①当底数时，是减函数，故，则可排除A项
由，B错
②当底数时，是增函数，故，设，因为，由幂函数的性质可知，函数在第一象限为增函数，故，D错
当①成立时，，，设，则函数为减函数，
当②成立时，，，，则函数为增函数，
所以C选项正确
答案选C
【点睛】
本题考查根据不等式性质比大小，常采用方法一般为：结合不等式基本性质；若涉及参数，则应考虑分类讨论；对于简单不等关系，也可预先采用赋值法排除错误答案
4．在中，，F为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用三角形对边中点的向量公式拆解，得，再利用向量的线性运算减法公式进行求解
【详解】
如图所示：
，又因为，所以．
答案选B
【点睛】
本题考查向量的线性运算，解题核心在于怎样将任意向量转化成两组基底向量，通常涉及方法有向量的加法及减法线性运算公式，如本题中，的转化
5．已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用直线的斜率进行求解，需要先化简
【详解】
解：∵，∴．
答案选A
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，直线斜率（为倾斜角），是基础题
6．下列说法错误的是（ ）
A.已知，且，则使
B. 是上的可导函数， 为的极值点的必要不充分条件是
C.已知与为非零向量，则是与的夹角为锐角的充要条件
D.若a、b、c、d为非零实数，则“a、b、c、d成等比数列”是“”的充分不必要条件
【答案】C
【解析】逐项对选项进行判断，A项，B项，D项均可通过列举法论证命题的合理性
【详解】
A项，当时成立，A对
B项，为的极值点，一定可以得到，但是得不到为的极值点，如函数，B对
C项，当与的夹角为0°时，．C错
D项，充分条件很容易证明，由等比数列的性质即可得出，当时，也有可能是a、c、b、d成等比数列，D对
答案选C
【点睛】
本题考查对命题真假的判断，知识点较为综合，解答此类题型时，一定要注意考虑一些边缘性结论，比如“导数值为零时，函数不一定有最值”等这类问题，这就要求平时学习时要注意总结易错点，形成常规性结论
7．某学生离家去学校，刚开始匀速步行，路上在文具店买了一套直尺，发现上学时间比较紧张就跑步上学，但由于体能下降跑得越来越慢，终于准时赶到了学校．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题中关键语句判断，“由于体能下降跑得越来越慢”可得出曲线的切点斜率的绝对值越来越小，再由“纵轴表示离学校的距离”可锁定答案
【详解】
注意纵轴表示的是离学校的距离，排除C、D选项；因为跑得越来越慢，所以只有B选项吻合．
答案选B
【点睛】
本题考查函数在生活中的应用问题，路程时间图像中斜率的绝对值可代表该点的瞬时速度
8．设，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】通过对求导，得，判断函数在为增函数，再根据增函数性质进行求解，即可判断大小
【详解】
解：设，则，故在上单调递增，因为，故；且，故；由得．
所以，答案选B
【点睛】
本题考查利用函数的增减性解不等式，其中求导是关键，解决此类题型需要先观察分析每个式子特点，再选取合适的方法
9．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若且，则的面积为（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】利用正弦定理的边化角，再结合余弦定理和面积公式求解即可
【详解】
解：由，
又由，∴．
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，正弦定理一般边化角，余弦定理常结合面积公式使用
10．已知，为图象的顶点，O，B，C，D为与x轴的交点，线段上有五个不同的点．记，则的值为（ ）
A. B.45 C. D.
【答案】C
【解析】通过分析几何关系，求出，，再将表示成，结合向量的数量积公式求解即可
【详解】
解：由图中几何关系可知，,,,
，,∴，即．
则，
答案选C
【点睛】
本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量，是关键
11．已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】由两个相邻的极值点分别为和可求得周期，再将点代入，结合可求得值，进而求得表达式，将不同名的余弦函数转化成正弦函数，结合函数图像平移变换的性质，即可求得
【详解】
解：∵∴，将点代入，得，
从而或，∵∴．
因此变换到只需向左平移个单位长度．
答案选C
【点睛】
本题考查三角函数解析式的求法，三角函数诱导公式的使用，三角函数图像的平移变换综合性强，但难度不大，平移变换的前提是函数同名
12．已知，若有且仅有两个整数值使得成立，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】可将转化成，，则有且仅有两个整数值使得成立等价于当在图像上方时，刚好有两个整数解
可先对求导，判断函数增减性，再由两函数的位置关系来求解
【详解】
解：设，；，故在上单调递减，在上单调递增．又因为，故可以分为两种情况：
①0，1是满足条件的整数解，则有，得；
②0，是满足条件的整数解，则有，得；
综上，选择答案D．
【点睛】
本题考查函数恒成立问题，需通过构造函数法分析两函数的位置关系，确定两整数解的确切值，再用分类讨论法进行求解，体现了函数与不等式的转化思想，也体现了导数研究函数的重要性
二、填空题
13．已知，，且，则________．
【答案】
【解析】利用两向量平行的坐标运算公式进行求解参数，再根据数量积的坐标公式进行求值即可
【详解】
解：因为，则，则，．
所以
【点睛】
本题考查向量平行的坐标运算和向量数量积的坐标运算，相对基础
14．已知，若满足，则_______．
【答案】
【解析】先求得，表示出，通过左右同时平方，左式分母拼凑出，化简求值即可求得
【详解】
解：∵，
∴，平方可得，同除，得，
解得．
【点睛】
本题考查导数公式的求解，三角函数的化简求值，形如的式子，求，常用两种基本方法，一种是将式子变形成，再左右同时平方转化，另一种即为本题解法，相比来说本题解法更具优越性，优化了解题步骤
15．已知数列满足且，则_______．
【答案】
【解析】观察递推式为周期型，可通过令进行整体代换，求解出是以6为周期的周期数列，再化简求值即可
【详解】
解：由题，所以是以6为周期的周期数列，故．
【点睛】
本题考查的是数列的周期性，一般在进行代换时，是在下标的基础之上再加上相同下标进行代换，此法跟函数周期性的求解法类似
16．已知函数，，对任意的，总存在使得成立，则a的范围为_________．
【答案】
【解析】解题的关键在于读懂“对任意的，总存在使得成立”这一恒成立问题，即要恒成立，先通过求导求出，再通过恒成立问题分离参数，被分离部分再构造函数求最值，即可求出
【详解】
解：对任意的，总存在使得成立，即恒成立
∵，∴
∴当时，，函数单调递减，
∴当时，，函数单调递增，
∴
当时，，则
记，，，
在上单减，，所以单减，则
，单增，，单减，所以
故当时，．
故实数a的取值范围为．
【点睛】
本题考查恒成立问题易错解成求问题，关键在于对存在命题的理解，本题多次用到了导数来研究函数最值问题，当首次求导不能判断导数正负值时，往往需要再次求导，解法中若涉及参数，分离参数也是我们常采用的基本方法
三、解答题
17．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：；
（2）若，的面积为，求a的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）正弦定理边化角，即可求解
（2）通过面积公式可先求出，再用正弦公式变形式求a即可
【详解】
解：（1）易得，
显然．
（2）由（1）知，∴或150°
当时，，
当时，，
【点睛】
本题主要考查解三角形中边化角的应用，等腰三角形等边对等角的性质，解三角形中多解的分类讨论思想，通常排除不合理的角，主要是通过大边对大角的基本原则
18．数列的前n项和记为，，，，，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：对，总有．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）通过可知，可采用作差法求解，但需验证时是否成立，再求出通项即可
（2）通过（1）中求出的，可得，符合累加法基本类型，用累加法求解，因为要证明，故求得的应能够进行通项求和，或是满足裂项求和基本形式，再进行化简即可
【详解】
解：（1）由．可得，
两式相减得，∴，
又，．
故是首项为9，公比为3的等比数列，
∴
（2）
当时，
又符合上式，．
∴．
则
∵，
∴．
【点睛】
本题考查根据与的关系式求解的基本方法，一般是通过作差法求解，但需验证能否成立，同时也考查了累加法，裂项求和法，这些方法都是我们求解数列常用基本解法，考生应强化训练，提高熟识度
19．已知函数．
（1）求函数的单增区间；
（2）将图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，求的最小值．
【答案】（1）单增区间（2）
【解析】（1）对化简，观察式子整体特征，应将单倍角化成二倍角，再用辅助角公式化成最简，得到关于正弦的复合函数，求解对应的单调区间
（2）先表示出平移之后的表达式，又因所得图象关于直线对称，说明在处，函数应有最值，套用最值通式即可求得关于的通式，再通过给合理赋值，即可求得
【详解】
解：（1）
令，得单增区间
（2）向左平移个单位长度，得到
对称轴，将代入得，∵，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，主要依据单倍角和二倍角公式的转化，其中和其实是同一表达式，求解时不应拆项求解，，故=，在三角函数的求值化简中，长采用整体法进行转化，此法可借鉴。对于复合函数单调区间的求解，平移变换公式的书写，最值通式（对称轴通式）都是对考生基本功的考查，要求考生能熟记三类函数（正弦、余弦、正切）的基本性质，平时训练中应强化对三类三角函数性质的理解和记忆
20．已知函数，，为的导数，证明：
（1）在区间上有唯一零点；
（2）有且仅有两个零点．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】(1)先求得，要判断导数存在唯一零点，得先对导数求导，得到，再由零点存在定理进行证明即可
（2）由（1）可知存在，使得，即， 要求证有且仅有两个零点，得先验证存在两点使得，可取和验证，再证明，由于无法结合进行代换，但，通过，可将进行代换，进一步可证明，从而得到，即可求证
【详解】
解：（1），
故在上单调递减．
又，
故在上有唯一零点．
（2）设在上的零点为，由第（1）问知，
且在上单调递增，在上单调递减．
，
因为，故
故
即
故在有且只有一个零点，在有且只有一个零点
故有且仅有两个零点
【点睛】
本题考查函数的导函数零点个数的判断问题，函数零点个数的求证问题，其中利用零点存在性定理求证函数存在两零点是难点，（2）问和（1）问联系紧密，利用导数为零关系式进行代换是解题核心，利用配方法代换过程并不容易想到，解决此类题型要多思考，多观察，注意关联性。
21．已知函数有两个零点，有一个极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）先求导，得，对参数进行分类讨论，确定只有当时，有一个极值点，在上单调递减，上单调递增，故只需，解出即可
（2）由（1）可判断，，可令，则，，由化简可得，，即,最终需要通过构造函数，求证在上即可
【详解】
解：（1）函数定义域为，则
①若，则仅一个零点，不符题意
②若，则，
在上单调递增，不可能有两个零点，也不符题意
③若，令，即
得只能取一个零点，当，，，
所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，
要满足，即； 且当趋于0和正无穷时，趋向正无穷
综上a的取值范围为．
（2）由题意及（1）可知，．
法一：令，则，，
由，即：
而
即：由，只需证：
令，则
令，则
故在上递增，
故在上递增，
∴
法二：构造函数
（易知等号取不到）
故，在上递减，
即：，则
而由，，在上单调递增
故，得
另得
∴
【点睛】
本题考查根据零点个数求解参数问题，根据零点与极值点关系求证不等式恒成立问题，导数研究过程贯穿始终，体现了导数研究函数的重要性，（1）中分类讨论判断函数区间是常用解法，（2）中方法一为正向求证不等式，其中参数代换、构造函数是关键，同样需要通过导数求解恒成立问题，方法二解题不易想到，建议作为参考学习
22．下图是某数学爱好者在平面直角坐标系下绘制的“心型曲线”，如果以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该“心型曲线”的极坐标方程是．
（1）求该“心型曲线”的直角坐标方程；
（2）已知，直线与该“心型曲线”在y轴右侧交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）通过分类讨论，采用进行代换，分别求得对应的直角坐标方程即可
（2）将直线的参数方程和“心型曲线”的直角坐标方程进行联立，求得关于的韦达定理
根据直线参数的含义知=，即可求得
【详解】
解：（1）当时，，
即
当时，即
综上，该“心型曲线”的直角坐标方程为
（2）将直线的参数方程代入得
，即
设点A，B对应直线中的参数分别为，则有
故
【点睛】
本题考查曲线的直角坐标方程的求法，直线的参数在曲线中的应用问题，整体解题思路比较容易把握，难度不大，重要的是理解参数代表的是哪一段长度的问题，若是直线与曲线的两个交点对应的弦长，则应是
23．已知函数．
（1）解关于x的不等式；
（2）记的解集中的最大元素为n，若a，b，c均为正数，．证明：．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）采用零点讨论法进行求解即可
（2）由，证明，分析式子特点可知，跟关联性最大，故应考虑通过整体进行放缩，得到，再通过可再次进行一次放缩，即可求证
【详解】
解：（1）∵，
若，则，解得则
若，则，解得则
若，则，解得则
综上所述，不等式的解集为
（2）由（1）知，则
证明：∵，∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求法，利用重要不等式来证明不等式恒成立问题，其中绝对值不等式的解法常采用零点讨论法，写出三段式，最终将所求区间合并即可，（2）中不等式的证明通过重要不等式做为纽带，层层放缩，由
的特点可知，难点在于的放缩，而的结论应该作为常见结论加以记忆，由此，本题便迎刃而解
本题较好地考查了不等式求解与证明的基本方法，值得深入学习与研究
