2020届“四省八校”高三第一次教学质量检测数学（理）试题 （解析版）
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一、单选题
1．若集合，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】化简集合，判断选项即可.
【详解】
化简集合，判断选项得.
故选：D
【点睛】
本题考查了不等式的解法、元素与集合的关系、集合与集合的关系，属于基础题．
2．设函数，则的值为（）
A. B.2 C. D.8
【答案】B
【解析】根据分段函数，得.
【详解】
∵函数，
∴.
故选：B．
【点睛】
本题考查分段函数解析式求值的问题，关键在于正确理解，属于基础题．
3．设等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用等差数列的通项公式与前项和公式即可求出．
【详解】
由等差数列的性质与前项和公式可得：＝，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，属于基础题．
4．已知，，，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用对数函数的单调性直接求解.
【详解】
利用对数函数的单调性可得:，
且，∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查三个数大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，属于基础题．
5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点，则（）
A.0 B. C. D.
【答案】A
【解析】根据三角函数的定义，求出，进而求出，化简代入计算即可.
【详解】
角终边上一点，根据三角函数的定义，得，
∴＝＝，进而得，
∴，，
化简
.
故选：A．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，正余弦二倍角的化简求值，考查计算能力，属于基础题．
6．若，（且），则的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】由的式子得，展开，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.
【详解】
，（且），，且，
所以，
当且仅当取等号.
故选：D
【点睛】
本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题．
7．已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】
结合题意,为偶函数,则该函数关于y轴对称，当时，单调递减，根据大致绘制函数图像,
要满足,则要求,解得,故选C.
【点睛】
考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等.
8．设中边上的中线为，点O满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可．
【详解】
中边上的中线为，点O满足，如图所示：
由，且为的中点，所以为的三等分点靠近点，
且，，又，
从而，即，
所以+
=.
故选：A
【点睛】
本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知条件和正弦定理得，进而得，求出角，再由正弦定理得，求出角，即可求出角.
【详解】
由及正弦定理得：，
且，所以，
即，因为，，，
由，．
故选：A
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，三角形内角和的性质，考查了计算能力，属于基础题.
10．定义在R上的奇函数满足：函数的图象关于y轴对称，当时，，则下列选项正确的是（）
A.的图象关于y轴对称 B.的最小正周期为2
C.当时， D.在上是减函数
【答案】C
【解析】由已知条件得的图象关于对称，且为奇函数，得周期为4，又时，，对选项判断即可.
【详解】
函数的图象关于y轴对称，所以的图象关于对称，故A错误；
，进而得.又是奇函数，，
，进而得，所以周期为4，故B错误；
当时，，所以当时，则，，所以，故C正确；
当时，，所以当时，则，，所以在上是增函数，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数的基本性质：奇函数和对称性，函数解析式的综合应用，属于中档题.
11．已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
①，②，③（，且），④
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】A
【解析】由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
①，所以①错误；
②，所以②错误；
③（，且），所以③错误；
④，所以④错误.
故选：A
【点睛】
本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题.
12．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】化简，利用三角函数图象平移规律得，由，得关于对称，进而求出.
【详解】
化简，函数的图象向右平移个单位，
得，由，得，
所以关于对称，进而，.
，又．
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数图象平移规律的应用，余弦函数图象和对称中心的应用，属于基础题.
二、填空题
13．已知向量，，且，则在的方向上的投影为_______．
【答案】
【解析】由已知条件得，且，得，再由投影公式计算即可.
【详解】
已知向量，，得，
且，所以，得，
则在的方向上的投影为.
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了平面向量数量积和模长的的运算，向量的投影公式的应用，属于基础题.
14．设，满足约束条件，则的最大值是____
【答案】10
【解析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.
由得：，.
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
15．在数列中，，当时，，则_____．
【答案】3
【解析】由，，用累加法求出，当时，符合，即可求出.
【详解】
在数列中，当时，，，，
以上个累加，得，
即：，验：当时，符合.
所以：，即
故答案为：3
【点睛】
本题考查了数列的递推式，累加法求数列的通项公式，注意检验，属于基础题.
16．定义在R上的函数的导数为，若，则不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】由已知条件得函数在上单调递减，由不等式，得，从而成立，解出的范围即可.
【详解】
由于，且，即．
令，则，所以在上单调递减，
由不等式，得成立，即．
由于在R上单调递减，所以，解得．
故答案为：
【点睛】
本题考查了构造函数，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的计算，属于中档题.
三、解答题
17．已知在中，．
（1）求角的大小；
（2），设为边上的高，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由已知条件和余弦定理得，即可求出角；
（2）由，得，由和基本不等式得，即可求出的取值范围.
【详解】
（1）在中，且，由余弦定理得 ，
，
（2），
由余弦定理：，当且仅当取等号，
，解得.
【点睛】
本题考查了正余弦定理的应用，也考查了基本不等式求最值，考查了计算能力，属于基础题.
18．设数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由①，得②，①-②得，，把，代入①得，满足，得是等比数列，即可得；
（2）由（1）得，利用分组求和即可求得.
【详解】
（1）由①，∴②，
由①-②得，，∴数列为等比数列，
在①中，令，有，即，又，
∴，满足，∴是以为首项，公比为的等比数列，
其前n项和.
（2）因为为数列的前n项和，所以
．
【点睛】
本题考查了由数列的递推式证明数列是等比数列，注意的取值范围，也考查了数列的分组求和，属于中档题.
19．设，，函数．
（1）求的定义域及单调增区间；
（2）若将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域．
【答案】（1）定义域为，增区间为；（2）
【解析】（1）由正切函数的定义得函数的定义域，由平面向量数量积的坐标运算和正余弦的倍角公式化简得，再由正弦函数的单调性得的单调增区间；
（2）由的伸缩变化规律得，当，进而得，即可求函数的值域.
【详解】
（1）已知，，且，
由，得函数的定义域为：，
所以
由，得的增区间为，
综合的定义域，得到的增区间为.
（2）函数图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得，当，，得
所以的值域为．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算和正余弦倍角公式的应用，正切函数的定义，也考查了的伸缩变化规律及正弦函数的值域等问题，属于中档题.
20．已知函数
（1）若有2个极值点，求a的取值范围；
（2）若，且，求在区间内的最大值．
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）先求导，根据题意得有两个不同的解，则，解出的范围即可；
（2）当时，，得在区间上单调递增，区间上单调递减，按或分类讨论求出即可.
【详解】
（1）已知函数，则，
要使有2个极值点，即有两个不同的解，则，
解得或.
（2）当时，函数，则，
所以在区间上单调递增，区间上单调递减，
①若，解得，在上单调递增，单调递减，所以；
②若，解得，在上单调递减，
所以；
综上：.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值，以及函数在某个区间上的最大值等问题，也考查了分类讨论思想，属于中档题.
21．已知函数．
（1）求的单调性；
（2）若对定义域内任意的，都恒成立，求a的取值范围；
（3）记，若在区间内有2个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】（1）先求导得，按，，分类讨论即可；
（2）由（1）得函数的最小值，只要最小值不小于即可解出a的范围；
（3）化简得，求导得，按，，分类讨论得的单调性，根据题意即可求出a的范围.
【详解】
（1）的定义域为，
当时，恒成立，∴在上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增.
（2）由（1）知：当时，在上单调递增，所以恒成立；
当时，在上单调递减，上单调递增，
所以，解得；
当时，在上单调递减，上单调递增，
所以，解得
综上：
（3）记，化简得，，所以；
当时，，所以在上递增，不符合题意，舍去；
当时，在上单调递减，上单调递增，要使在区间内有2个零点，
，解得；
当时，在上单调递减，上单调递增，要使在区间内有2个零点，
，解得；
综上：．
【点睛】
本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，以及由函数的最小值和零点等问题求参数的范围，利用了分类讨论思想，属于中档题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C分别交于A，B两个不同的点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；
（2）若点P坐标为，求的取值范围．
【答案】（1）曲线，直线：若，；若，；（2）
【解析】（1）由，得，化简得，直线：按和分别求出直线即可；
（2）设A，B参数分别为，把将直线参数方程代入曲线C得，得，化简代入即可.
【详解】
（1）曲线C的极坐标方程为，得，所以，
直线：若，，若，.
（2）点P坐标为，点P在直线上，设A，B参数分别为，
将直线：（t为参数），代入曲线，
得，所以，
∴．
【点睛】
本题考查了极坐标，参数方程和直角坐标方程的转化，也考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.
23．已知函数．
（1）当时，求满足的x的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，按，，分类讨论求满足的x的范围；
（2）由题意得有解，又，所以成立解出a的范围即可.
【详解】
（1）当时，函数
当时，，即；
当时，，即；
当时，，，即.
综上：
（2）若不等式有解，则，
又，∴有解，
∴．
【点睛】
本题考查了含绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法，函数的有解问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
