2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合并集的定义，结合数轴进行运算即可.
【详解】
，，∴.
故选：C
【点睛】
本题考查了集合并集的定义，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.
2．在复平面内，与复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.
【详解】
,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.
【点睛】
本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.
3．已知向量，，若，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】运用平面向量数量积的坐标表示的夹角公式直接运算求解即可.
【详解】
，，∴，又，∴.
故选：D
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标表示的夹角公式，考查了数学运算能力.
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是，两人和棋的概率是，则乙不输的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据事件的和事件概率直接求解即可.
【详解】
由题意可知，乙获胜的概率为，则乙不输的概率为.
故选：C
【点睛】
本题考查了和事件概率公式，属于基础题.
5．实验机构对人体脂肪百分比和年龄（岁）的关系进行了研究，通过样本数据，求得回归方程，有下列说法：①某人年龄为40岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加；③人体脂肪百分比和年龄（岁）成正相关.上述三种说法中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】根据代入求值、以及回归直线方程斜率的意义可以判断三种说法的正确性，选出正确答案.
【详解】
当，，故①正确；年龄每增加一岁，人体脂肪百分比增加约，故②错误；因为，所以③正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了线性回归方程的斜率的意义，属于基础题.
6．校学生会调查有关本学期学生活动计划的意见，打算在全校范围内抽取部分同学作为样本，该校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，若利用分层抽样，在高一学生中抽取100人，则应在高二学生中抽取（ ）
A．100人 B．80人 C．600人 D．240人
【答案】B
【解析】根据分层抽样的方法，根据抽样比列方程，求解方程即可.
【详解】
设在高二抽取人，由，可知.
故选：B
【点睛】
本题考查了分层抽样的方法，属于基础题.
7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A．45 B．15 C．5 D．135
【答案】A
【解析】根据程序框图判断执行的功能，然后计算求值即可.
【详解】
该程序框图是利用辗转相除法求225与135的最大公约数，225与135的最大公约数是45.
故选：A
【点睛】
本题考查了辗转相除求两个正整数最大公约数，考查了循环结构，考查了判断程序框图功能的能力.
8．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆：相切，且直线与圆：相交于，两点，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】根据直线与圆的相切关系可以求出直线方程，再利用弦长公式，结合点到直线距离公式可以求出.
【详解】
根据题意易知直线：，因直线交于，两点，故：，圆心到的距离.由.
故选：B
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆弦长的计算，考查了数学运算能力.
9．若在区间上是增函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦型函数的单调性结合题意求出的最大值
【详解】
，
由求得的增区间为；，
由题有，
∴的最大值为.
故选：A
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式，考查了已知正弦型函数在区间上的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.
10．动直线：过定点，动直线：过定点，若动直线与交于点（异于点，），且，则满足题意的点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】先判断两条直线所过的定点，再判断两直线的位置关系，可以判断出点的轨迹方程，再结合已知可以确定满足题意的点的个数
【详解】
由题意得：直线恒过，直线恒过且于点，
则点在以线段为直径的圆：上（除去点，，，），又点在：上，∴点即与的交点，
由于与相交，故满足题意的点共有2个（点，，，均不在上，从而这四个点不可能是点.）
故选：C
【点睛】
本题考查了直线过定点问题，考查了两直线的位置关系，考查了求点的轨迹，考查了推理论证能力.
11．已知函数，过点可作两条直线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对函数求导，求出函数切线方程，由题意可以转化为方程与两个不相等的正根，通过构造函数，利用新构造函数的导数，判断单调性最后求出的取值范围.
【详解】
由题意得，，设切点为，切线斜率为，切线方程为：，因为切线过点，所以，即.由于过点可作两条直线与的图象相切，所以方程有两个不相等的正根，令，，所以在上单减，上单增，且，因为时，，时，，结合的图象，可知时满足题意.
故选：B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了求函数的切线方程，考查了已知方程根的情况求参问题.
12．已知点为坐标原点，点是椭圆：的左焦点，点、、分别为椭圆的左、右顶点和上顶点.点为椭圆上一点，且轴，直线交线段于点，若直线交线段于点，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在图中可以找到两对相似三角形，这样可以得到比例式子，根据题中所给的已知，可以求出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】
如图可知：∽，
，
，由，
又
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质定理，考查了不等式的性质，考查了求椭圆离心率的取值范围，考查了数学运算能力.
二、填空题
13．抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标.
【详解】
解析：，代入，即.
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.
14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人进入高三后5次数学模拟考试的成绩（百分制），现对这两人的成绩有如下评价：①甲的平均成绩高于乙的平均成绩；②乙的成绩的极差为4；③甲的成绩的众数为91；④甲的成绩的标准差大于乙的成绩的标准差.以上评价中正确的有______（填序号）.
【答案】②③④
【解析】根据茎叶图可以求出甲、乙两人的平均数、标准差，极差、众数的定义，可以判断出哪些评价是正确的.
【详解】
，，故①错误；②正确；③正确；甲、乙的成绩标准差分别为和，故④正确.
故答案为：②③④
【点睛】
本题考查了根据茎叶图求平均数、极差、标准差、众数，考查了数学运算能力.
15．双曲线的两条渐近线分别为，，点为其一个焦点，若点关于直线的对称点在直线上，则该双曲线的焦距为______.
【答案】8
【解析】根据题意结合双曲线的对称性可以求出其中一条渐近线的斜率，最后可以求出双曲线的焦距.
【详解】
如图：设关于的对称点为，则，
又由双曲线性质：，
则
焦距为.
【点睛】
本题考查了求双曲线的焦距，考查了双曲线的对称性，考查了数学运算能力.
16．2019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）：
全月应缴纳所得额 | 税率 |
不超过3000元的部分 | |
超过3000元至12000元的部分 | |
超过12000元至25000元的部分 |
国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况，实施了《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，具体如下表：
项目 | 每月税前抵扣金额（元） | 说明 |
子女教育 | 1000 | 一年按12月计算，可扣12000元 |
继续教育 | 400 | 一年可扣除4800元，若是进行技能职业教育或者专业技术职业资格教育一年可扣除3600元 |
大病医疗 | 5000 | 一年最高抵扣金额为60000元 |
住房贷款利息 | 1000 | 一年可扣除12000元，若夫妻双方在同一城市工作，可以选择一方来扣除 |
住房租金 | 1500/1000/800 | 扣除金额需要根据城市而定 |
赡养老人 | 2000 | 一年可扣除24000元，若不是独生子女，子女平均扣除.赡养老人年龄需要在60周岁及以上 |
老李本人为独生子女，家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元，按照《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，则老李应缴纳税款（预扣）为______元.
【答案】890
【解析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数，然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.
【详解】
根据题意，老李应纳税的工资、薪金为元，
其中应纳税额所得额为.
缴纳的个人所得税（预扣）为元，
故答案为：890．
【点睛】
本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
17．已知正项数列的前项和为，且和满足：.
（1）求的通项公式；
（2）设数列，求的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先求出首项，对递推公式再递推一步，两个式子相减，最后可以判断出数列是等差数列，最后求出通项公式即可；
（2）利用错位相减法可以求出的前项和.
【详解】
（1）当时，，解得：，
当且时，，
∴，
整理可得：，
∵，∴，∴，
∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，
∴.
（2）由（1）知，，.
则，
∴.
【点睛】
本题考查了利用递推公式判断一个数列是等差数列，考查了错位相减法求数列的和，考查了数学运算能力.
18．孔子曰：温故而知新.数学学科的学习也是如此.为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级640名学生中按系统抽样抽取40名学生进行问卷调查，所得信息如下：
| 数学成绩优秀（人数） | 数学成绩合格（人数） |
及时复习（人数） | 20 | 4 |
不及时复习（人数） | 10 | 6 |
（1）张军是640名学生中的一名，他被抽中进行问卷调查的概率是多少（用分数作答）；
（2）根据以上数据，运用独立性检验的基本思想，研究数学成绩与及时复习的相关性.
参考公式：，其中为样本容量
临界值表：
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【答案】（1）（2）有的把握认为数学成绩与及时复习有关
【解析】（1）根据概率定义直接求解即可；
（2）根据列联表，利用所给的公式求出的值，最后根据临界表，做出判断.
【详解】
解析：（1）
（2）由题可得如下列联表
| 优秀 | 合格 | 合计 |
及时复习 | 20 | 4 | 24 |
不及时复习 | 10 | 6 | 16 |
合计 | 30 | 10 | 40 |
根据列联表中的数据，可得随机变量的观测值
，
因为，所以有的把握认为数学成绩与及时复习有关.
【点睛】
本题考查了古典概型概率公式，考查利用对实际问题做出判断，考查了数学运算能力.
19．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理和余弦定理求出角的大小；
（2）根据正弦定理求出的值，再通过判断，利用同角的三角函数之间的关系求出，最后求出的值，最后利用二角差的正弦公式求出的值.
【详解】
解析：（1）由正弦定理得，∴，
又由余弦定理有，
又，∴.
（2）由正弦定理有，
∴，由知，从而，
∴，∴，
∴，
，
∴.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，考查了二角差的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.
20．已知函数，.
（1）若，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）
【解析】（1）对函数进行求导，判断函数的单调性，最后根据极值的定义求出极值即可；
（2）进行常变量分离，构造函数，求出新函数的导数，以及它的单调性，求出最值，最后求出实数的取值范围.
【详解】
解析：（1）令，（其中），解得.
当时，；当时，，
所以在上单减，上单增，
从而在时取得极小值为，无极大值.
（2）若在上恒成立，即在上恒成立，
记，则，
记，则，
当时，恒成立，
则在单调递减，因此，即，
故函数在单调递减，则，故.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的极值和最值，考查不等式恒成立问题，考查了常变量分离法、构造函数法.
21．在平面直角坐标系中，，，动点满足：直线与直线的斜率之积恒为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点位于第一象限，过点，分别作直线，直线，直线，交于点.
①若点的横坐标为-1，求点的坐标；
②直线与曲线交于点，且，求的取值范围.
【答案】（1）（2）①点的坐标为②
【解析】（1）设出动点坐标，根据斜率公式，结合已知可以直接得到曲线的方程；
（2）①设直线的方程根据已知，可以得到的直线方程，解方程组求出的坐标，再判断已知的两直线所过的定点，最后求出的坐标；
②直线与曲线的方程联立，根据所给的向量式子，结合根与系数关系最后可以求出的取值范围.
【详解】
解析：（1）设动点，由
.
（2）①设直线：，
由位于第一象限得，
则由，
知，
联立，
由题易得直线和的方程分别为：：，：.
解得其交点的坐标为，由，解得，
∵，∴.
由此可得点的坐标为.
②联立，，
由根与系数的关系有.
由
.
因为.
【点睛】
本题考查了直接法求轨迹，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了数学运算能力.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）极坐标方程为的射线与曲线、分别交于点，（且点，均异于极点），求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）
【解析】（1）根据同角的三角函数关系式把曲线、曲线的参数方程化为普通方程，再利用极坐标和直角坐标之间的关系求出曲线的极坐标方程；
（2）根据求出点、点极坐标，最后求出的值.
【详解】
解析：（1）的普通方程为，极坐标方程为，
的普通方程为，极坐标方程为.
（2）根据题意，点极坐标为，点极坐标，
即，，.
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程再化为极坐标方程的过程，考查了极坐标下极径的意义，考查了数学运算能力.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若正数，，满足，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；
(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.
【详解】
（1）化简得.
①当时，，由，即，
解得，又，所以；
②当时，，由，即，
解得，又，所以；
③当时，不满足，此时不等式无解；
综上，不等式的解集为：.
（2）由于，故，
∴，
∵，∴由柯西不等式：
上式
.
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
