2020届福建省泉州市高三毕业班3月适应性线上测试（一）数学（文）试题（解析版）

2020届福建省泉州市高三毕业班3月适应性线上测试（一）数学（文）试题

一、单选题

1．若复数满足，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可.

【详解】

因为

故：

故其共轭复数为：

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.

2．集合，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】利用集合的交、补运算即可求解.

【详解】

，，，

则，

故选：B.

【点睛】

本题考查了集合的交、补运算，属于基础题.

3．记为等差数列的前项和，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据条件建立关于和的方程组，求解.

【详解】

解析：由，得且，解得.

故选：A

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求法，属于简单题型.

4．下图是某地区年至年污染天数（单位：天）与年份的折线图，根据年至年数据，年至年的数据，年至年的数据分别建立线性回归模型，，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，由和的的几何意义直接判断选项.

【详解】

由图象可知，回归直线应分布在散点图的附近，2010至2014年，随的增加，平缓的下降，2015年到2019年随着的增加，下降迅速，根据回归直线方程中的几何意义可知，，由点的分布可知，，所以 ，

根据散点图可知.

故选：C

【点睛】

本题考查回归直线方程和散点图的关系，重点考查对图象的分析能力，属于基础题型.

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，两边平方后可得，再根据诱导公式直接计算结果.

【详解】

解析：由，得，平方得，所以，

所以，

故选：A.

【点睛】

本题考查三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.

6．已知双曲线的一条渐近线经过点，且其焦距为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由条件建立关于的方程组，直接求解双曲线的方程；或是利用排除法获得选项.

【详解】

解析：依题意可得，解得，，故方程为.

故选：D.

另解：由焦距得，又由快速排除AB选项：点代入选项C，不满足，排除C，

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线标准方程和几何性质，重点考查基础知识，属于基础题型.

7．若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先画出可行域，然后画出初始目标函数，再平移直线，得到函数的最大值.

【详解】

如图画出可行域，

令，作出初始目标函数，当初始目标函数平移至点时，取得最大值，

，解得： ，，

此时的最大值.

故选：D

【点睛】

本题考查线性规划，重点考查作图和识图能力，属于基础题型.

8．已知函数，若在实数集上为增函数，则常数满足（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由分段函数的单调性，考虑各段的情况，注意在上递增，则有，解得不等式，即可求出结果．

【详解】

因为在实数集上为增函数，所以，故选C.

【点睛】

在解决分段函数单调性时，首先每一段函数的单调性都应具备单调递增（或单调递减），其次，在函数分段的分界点处也应该满足函数的单调性，据此建立不等式组，求出不等式组的交集，即可求出结果．

9．已知椭圆的焦距为，，是的两个焦点，点是圆与的一个公共点.若为直角三角形，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先由条件判断，再结合椭圆定义得到椭圆的离心率.

【详解】

依题意可得，又因为为直角三角形，所以，故

，解得:

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查椭圆的定义和几何性质，重点考查灵活应用几何性质，本题的关键是判断，属于中档题型.

10．已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先画出函数的图象，转化为与函数图象至多有2个零点时，求的取值范围.

【详解】

解析：由，得，

，当时，，

当时，，函数单调递减，

当时， ，函数单调递增，

所以时，函数的最小值，且

，，

，当时，，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以时，函数的最小值，

作出函数与的图象，观察他们的交点情况，可知，或时，至多有两个交点满足题意，

故选：B.

【点睛】

本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，重点考查利用导数判断函数的单调性和最值，并能数形结合分析问题的能力，属于中档题型.

二、多选题

11．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．在复平面内对应的点位于第二象限

【答案】AB

【解析】根据欧拉公式的定义，代入，判断选项A，根据模的计算公式判断B，令，两个式子联立解方程组判断C,令，则表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，判断D.

【详解】

解析：，A对；，B对：

，C错；依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，显然该点位于第四象限；D错；

故选：AB.

【点睛】

本题考查新定义和复数的计算和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义.

12．在中，角，，所对的边分别为，，.若，角的角平分线交于点，，，以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．的面积为

【答案】ACD

【解析】首先根据余弦定理，并结合条件判断，并根据二倍角公式得到，依次计算的值，根据面积比值，判断C和D.

【详解】

解析：在中，根据余弦定理得，，即，所以.由倍角公式得，解得.

在中，，故选项A正确

在中，，解得.故选项B错误；

，解得，故选项C正确；

在中，由得，，所以

，故选项D正确

故选：ACD

【点睛】

本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的能力，属于中档题型.

三、填空题

13．已知向量，，若，则______________.

【答案】2

【解析】两边平方后，得到，根据向量数量积计算结果.

【详解】

，两边平方可得，故，得.

故答案为：2

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.

14．已知，，，为自然对数的底数，则，，的大小关系为__________.

【答案】

【解析】化简，根据幂函数的单调性和图象比较大小，再根据对数函数可知，最后比较的大小关系，

【详解】

解析：因为，，

在定义域内单调递增，

故，又，故.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用函数的单调性比较大小，重点是判断所属函数类型，利用单调性比较大小，或是和特殊值比较，属于基础题型.

15．已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则：_____________；当时，的值域为___________.

【答案】       

【解析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算的范围，计算函数的值域.

【详解】

因为，可得，

函数向左平移个单位后得到 ，因为函数是偶函数，

所以，，

因为，所以，

所以；

当时，

，

所以的值域为.

故答案为：；

【点睛】

本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型.

16．已知三棱锥中，平面平面，.设直线与平面所成的角为，则的最大值为__________.

【答案】

【解析】利用余弦定理求出是直角三角形，过点作，垂足为，易得，连接，可得平面，进而可得，设，，即，由，利用余弦定理可得：，化简配方即可求解.

【详解】

由已知易得是直角三角形，

过点作，垂足为，易得，

连接，

因为平面平面，

由面面垂直的性质定理，可得平面，

所以，，可知当取最小值时，最大.

设，，则.

因为，所以，

即，

所以，可得当时，取得最小值，最小值为，

即的最小值.

所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了线面角的求法，同时考查了余弦定理的应用，解题的关键是找出线面角，属于中档题.

四、解答题

17．数列中，，，为的前项和.

（1）若，求；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题意可知数列是首项为3，公比为3的等比数列，根据等比数列的前项和公式求；

（2）由（1）可知，代入后，利用裂项相消法求和.

【详解】

（1）由得数列是首项，公比的等比数列；

由得.

得，解得.

所以的值为.

（2）由（1）知数列是首项，公比的等比数列.

可得

.

所以，数列的前项和.

【点睛】

本小题主要考査等比数列的定义、通项公式、数列求和等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，体现综合性与应用性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.

18．新冠肺炎疫情期间，为了减少外出聚集，“线上买菜”受追捧.某电商平台在地区随机抽取了位居民进行调研，获得了他们每个人近七天“线上买菜”消费总金额（单位：元），整理得到如图所示频率分布直方图.

（1）求的值；

（2）从“线上买菜”消费总金额不低于元的被调研居民中，随机抽取位给予奖品，求这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；

（3）若地区有万居民，该平台为了促进消费，拟对消费总金额不到平均水平一半的居民投放每人元的电子补贴.假设每组中的数据用该组区间的中点值代替，试根据上述频率分布直方图，估计该平台在地区拟投放的电子补贴总金额.

【答案】（1）（2）（3）元

【解析】（1）根据频率和为1计算的值；

（2）由频率分布图计算可知消费总金额在元的有4人，消费总金额在的有1人，采用编号列举的方法，计算这位“线上买菜”消费总金额均低于元的概率；

（3）首先计算估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数，并且计算小于平均水平一半的频率，并计算总金额.

【详解】

（1）由，

得.

（2）设事件为“这位‘线上买菜’消费总金额均低于元”

被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在元的有人，

分别记为，，，

被抽取的居民“线上买菜”消费总金额在的有人，记为，

从被抽取的居民“线上买菜”消费总金额不低于元的居民中随机抽取人进一步调研，

共包含个基本事件，

分别为，，，，，，，，，，

事件包含个基本事件，分别为，，，，，，

则这位线上买菜消费总金额均低于元的概率.

（3）由题意，可得估计地区每位居民“线上买菜”消费总金额平均数为

估计低于平均水平一半的频率为，

所以估计投放电子补贴总金额为

元.

【点睛】

本题考査频率分布直方图、古典概型、用样本估计总体等知识点.考察了学生对统计图表的识读与计算能力，考察了学生的数学建模、数据分析、数学抽象、数学运算等核心素养.

19．如图，正三棱柱的所有棱长都为，是的中点，在边上，.

（1）证明：平面平面；

（2）若是侧面内的动点，且平面.

①在答题卡中作出点的轨迹，并说明轨迹的形状（不需要说明理由）；

②求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）①详见解析②

【解析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据条件可证明以平面；

（2）①要总有平面，即作出过点的平面，使其与平面平行；

②根据①的面面平行可转化为，再利用等体积转化求解.

【详解】

解：（1）在正三棱柱中，因为平面，平面，

所以

在等边中，是的中点，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）①取的中点，的中点，连接，则点的轨迹就是线段.

②因为平面，所以.……

由（1）得平面，

又因为，

所以.

故三棱锥的体积为.

【点睛】

本小题考查线面平行、面面垂直的判定与性质、三棱锥的体积的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考査化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.

20．在平面直角坐标系中，已知，点满足以为直径的圆与轴相切.

（1）求的轨迹的方程；

（2）设直线与相切于点，过作的垂线交于，证明：为定值.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】（1）设，利用，化简求轨迹方程；

（2）设，分别求直线和直线的方程，求交点的坐标，再利用坐标表示.

【详解】

（1）设，则的中点为，

由题意，得，

从而得

整理，得，

所以的方程为.

（2）设，则的斜率，故直线的方程为，

又，故可得的方程为，

由解得，

又，

所以，故为定值.

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义、方程及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考査化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.

21．已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若是的唯一极值点，求的取值范围.

【答案】（1）增区间是，减区间是（2）

【解析】（1）利用导数，求函数的单调区间；

（2）首先求函数的导数，令，转化为函数没有变号零点，求的取值范围.

【详解】

解：（1）由题意可得

当时，，

因为，所以

所以时，，时，.

所以的增区间是，减区间是.

（2），令

则，当，，当，，

所以在递减，在递增，

所以

①当，即时，恒成立，

故时，；时，

故在递增，在递减，所以是的唯一极值点，满足题意.

②当.即时，在递减，在递增，.

故时，，得；时，，得

故在递增，在递减

所以是的唯一极值点，满足题意.

③当，时，，

，令，则，，

令，，

令，，，故在递增，故

故在递增，，故

所以在存在唯一零点，设为，

当时，，得；当时，，得，

所以在递减，递增，所以也是的极值点，

所以不符合题意

综上所述，的取值范围是

（注：①②可合并）

【点睛】

本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和极值点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的普通方程为，设与的交点为，当变化时，记点的轨迹为曲线.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求的极坐标方程；

（2）已知点在上，，求的面积的最大值.

【答案】（1）（且）；（2）.

【解析】（1）将直线化为普通方程，与直线联立消去，得的普通方程，再利用极坐标方程与普通方程的互化即可求解.

（2）设，，根据三角形的面积公式可得，然后再利用辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.

【详解】

（1）由，消去参数得的普通方程，

设，由题意得

消去得的普通方程.

把，代入上式，，

可得的坐标方程为（且）.

（2）由题意可设，，

，

所以当，即时，

的面积取得最大值，其最大值为.

【点睛】

本题考查了消参求点的轨迹放方程、普通方程与极坐标方程的互化、三角形的面积公式、二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质，综合性比较强，属于基础题.

23．已知关于的不等式的解集为.

（1）求的最大值；

（2）在（1）的条件下，若，且，求的最小值.

【答案】（1）；（2）7.

【解析】（1）当时，解得；当时，分离参数可得，令，只需，根据绝对值的几何意义求出即可；

（2）由（1）可得，即，从而，利用基本不等式即可求解.

【详解】

（1）当时，恒成立，此时.

当时，原不等式可等价转化为.

令，则原不等式恒成立，只需.

因为，

当且仅当或时，“=”号成立，

所以，即.

综上知，的最大值.

（2）由（1）可得，即.

因为，所以，

.

当且仅当，即时“=”成立，

所以的最小值为7.

【点睛】

本题考查了含参数的绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，注意利用基本不等式时验证等号成立的条件，属于基础题.