2020届东北三省四市教研联合体高考模拟数学（文）试题（解析版）

2020届东北三省四市教研联合体高考模拟数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先由已知得到，再与A求交集即可.

【详解】

由已知，，故.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

2．已知，则复数(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据复数的四则运算，即可求得复数.

【详解】

因为，

故可得.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，属基础题.

3．为等差数列的前项和，若，则(    )

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】根据，即可容易求得.

【详解】

因为数列是等差数列，

故可得，又，

故可得.

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.

4．设是实数，“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得.

【详解】

因为，即可求得，

故是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.

5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.

【详解】

设圆锥底面圆的半径为r，则，又，

故，所以，.

故选：C.

【点睛】

本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.

6．哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”和“其他垃圾箱”，分别记为，，.为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小区三类垃圾箱中共计生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可.

【详解】

根据题意，投放正确的概率为，

故投放错误的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题.

7．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则(    )

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.

【详解】

因为，故可得，

则切线的斜率；

又因为.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合基础题.

8．已知函数，若函数的零点恰有4个，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出函数的图像，数形结合即可容易求得.

【详解】

因为，故可得的图像如下：

若函数的零点恰有4个，

即与有4个交点，

故.

故选：B.

【点睛】

本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题.

9．设等比数列满足，则的最大值为(    )

A． B．4 C．10 D．5

【答案】C

【解析】根据等比数列的下标和性质，即可容易求得，再根据均值不等式即可容易求得.

【详解】

因为数列是等比数列，又，

故可得，

即，

又，

又，

当且仅当时，取得最大值..

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.

10．如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得.

【详解】

根据题意，为方便说明问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：

容易知三棱锥和棱长为的正方体有相同的外接球.

则外接球的半径，

故其外接球体积.

故选：A.

【点睛】

本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.

11．已知双曲线：（，）的离心率为，抛物线：（）的准线经过的左焦点.若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则的标准方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得.

【详解】

根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，

又因为抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，

故可得（根据点到直线的距离公式，即可容易求得）

又因为，

解得，则.

则抛物线的方程为.

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.

12．已知函数，则使成立的的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据是偶函数，且当时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.

【详解】

因为，且其定义域为，故是偶函数；

又当时，是单调增函数，则时，是单调减函数.

故等价于，

整理得，解得.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.

二、填空题

13．设向量，若与共线，则________.

【答案】

【解析】根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数.

【详解】

因为且与共线

故可得，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.

14．一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为________.

【答案】

【解析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.

【详解】

因为样本容量为，根据题意可得：

第一组和第三组的频率为.

根据频率之和为，即可求得：

第四组的频率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查频率的计算公式，属基础题.

15．若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则在区间上的最小值为________.

【答案】

【解析】注意平移是针对自变量x，所以，再利用整体换元法求值域（最值）即可.

【详解】

由已知，，

，又，故，

，所以的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.

16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.

【答案】

【解析】利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.

【详解】

由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则

，故有，

解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.

三、解答题

17．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.

（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；

（Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82.

【解析】（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；

（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.

【详解】

（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为、、、

从成绩为优秀的员工中任取2人，

包含6个基本事件

设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件.

包含4个基本事件

∴

（Ⅱ）

，

估计所有员工的平均分为82.

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.

18．在中，为边上一点，，.

（1）求；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）4

【解析】（1），利用两角差的正弦公式计算即可；

（2）设，在中，用正弦定理将用x表示，在中用一次余弦定理即可解决.

【详解】

（1）∵，

∴，

所以，

.

（2）∵，

∴设，，

在中，由正弦定理得，，

∴，

∴，

∵，

∴

∴.

【点睛】

本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.

19．点（）是抛物线：上一点，为的焦点.

（Ⅰ）若直线与抛物线的准线交于点，求的面积；

（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，证明：直线的斜率是定值.

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ）根据题意，求得点的坐标，即可容易求得面积；

（Ⅱ）设出点的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线的斜率之和为零，即可容易证明.

【详解】

（Ⅰ）将代入得

则：，准线：，

∴

∴

（Ⅱ）设，

由题可知，，

∴

∴

∴

∴

∴

即证.

【点睛】

本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题.

20．如图，在直角中，.通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为线段上一点，且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若是线段的中点，求四棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）通过证明，即可证明线面垂直；

（Ⅱ）根据即可容易求得.

【详解】

（Ⅰ）在中，由余弦定理得，，

∴∴

由题意可知：∴，，

∴平面，

平面，∴

，

∴平面，

（Ⅱ）

.

故四棱锥的体积为.

【点睛】

本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.

21．已知函数（）.

（Ⅰ）若函数，讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，，证明：.

【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】（Ⅰ）根据题意，求得，对参数进行分类讨论即可容易求得；

（Ⅱ）根据是的两根，求得之间的关系式，构造函数，根据其单调性即可证明.

【详解】

（Ⅰ）∵∴（）.

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减；

当时，或，

∴在，上单调递增，在上单调递减；

当时，或，

∴在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上恒成立，

所以在上单调递增；

综上所述：

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

（Ⅱ）∵（）.

且的两个零点从小到大依次为，

∴，是方程的两个根，

∴

又，且所以

欲证，即证

只需证

令（），

∴在上单调递增，上单调递减，

∴，

即成立.

【点睛】

本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足.

（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程；

（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值.

【答案】（1）（）；（2）

【解析】（1）由已知，曲线的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；

（2）设，，由（1）可得，，相加即可得到证明.

【详解】

（1），

∵，∴，∴，

由题可知：，

：（）.

（2）因为，

设，，

则，

，

.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

23．已知关于的不等式有解.

（1）求实数的最大值；

（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）由题意，只需找到的最大值即可；

（2），构造并利用基本不等式可得，即.

【详解】

（1），

∴的最大值为4.

关于的不等式有解等价于，

（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，

（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，

综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.

（2）证明：根据（1）求解知，所以，

又∵，，，，

，当且仅当时，等号成立，

即，∴，

所以，.

【点睛】

本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.