2020届超级全能生高考全国卷24省1月联考甲卷数学（文）试题（解析版）

2020届超级全能生高考全国卷24省1月联考甲卷数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解一元二次方程不等式化简集合的表示，再利用补集的定义进行求解即可.

【详解】

因为全集，集合，所以.

故选：A

【点睛】

本题考查了集合的补集定义，属于基础题.

2．设，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】根据共轭复数的定义求出的表达式，再运算复数除法的运算法则化简，最后进行判断即可.

【详解】

由题可知，所以，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了复数除法的运算法则，考查了复数在复平面内的位置，考查了数学运算能力.

3．新中国成立70周年以来，党中央､国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点､城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化.下面是1949年及2015年~2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图.以下结论中不正确的是（    ）

A．20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关

B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍

C．2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元

D．2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍

【答案】D

【解析】A：根据正相关的定义进行判断即可；

B：通过计算进行判断即可；

C：通过计算2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数进行判断即可；

D：通过计算进行判断即可.

【详解】

A：观察统计图可知，20l5年-2018年中国居民人均可支配收入随着年份的增加而增加，选项A正确；

B：2018年中国居民人均可支配收入是1949年的倍，所以选项B正确；

C：2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为

（元），所以选项C正确； D：2015年中国居民人均可支配收入是1949年的倍，所以选项D错误.

故选：D

【点睛】

本题考查了平均数的计算公式，考查了正相关的定义，考查了数学运算能力，考查了数学阅读能力.

4．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（    ）

A．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱

C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D．乙分9两，丙分8两，丁分7两

【答案】C

【解析】根据题意，设五人所得的钱数等差数列，设公差为，根据，，得到，从而得到，得到答案.

【详解】

由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，

则，，

设公差为，所以，

即，解得，

可得；

；

，

所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题..

5．如图，和是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点.若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设出图形中一个小三角形面积为，计算出该图形的面积和阴影部分的面积，利用几何概型的计算公式求解即可.

【详解】

根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形.设一个小三角形面积为，则该图形的面积为，阴影部分的面积为，所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率.

故选：A

【点睛】

本题考查了几何概型计算公式的应用，考查了数学运算能力.

6．执行如图所示的程序框图，则（    ）

A．45 B．35 C．147 D．75

【答案】D

【解析】根据程序框图得到解析式，然后分别计算出和，从而得到答案.

【详解】

根据程序框图，可得

所以

所以

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图得函数解析式，分段函数求值，属于简单题.

7．某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示.网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（    ）

A．128 B．104 C．80 D．56

【答案】B

【解析】根据三视图可得吊柜的立体图，再根据长方体的体积公式进行求解即可.

【详解】

根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，其体积可看作三个长方体的体积之和，则该吊柜的体积.

故选：B

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的体积问题，考查了长方体的体积公式，考查了空间想象能力.

8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，在上是减函数，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对称性可以知道函数与函数互为反函数，因此可以求出的解析式，再根据分段函数的单调性的性质进行求解即可.

【详解】

因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以.因为且在上是减函数，所以解得.

故选：C

【点睛】

本题考查了已知分段函数的单调性求参数取值范围，考查了反函数的定义，考查了数学运算能力，考查了一次函数和对数函数的单调性.

9．已知双曲线分别为的左，右焦点，分别为的左，右顶点，且.点在双曲线右支上，若的最大值为，则的焦距的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】方法1：根据双曲线的定义，把式子化简成关于的代数式，利用基本不等式可以求出的值，再利用，最后求出焦距的取值范围；

方法2：设，利用配方法，结合的最大值为，可以求出的值，再利用，最后求出焦距的取值范围；

【详解】

方法1：设双曲线的焦距为，因为点在双曲线右支上，所以，即，

所以有

当且仅当，即时取等号，所以，解得.因为，所以，所以，即双曲线的焦距的取值范围为.

故选：D

 方法2：因为，所以，所以.设，则，所以，所以，所以双曲线的焦距的取值范围是.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的定义，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了数学运算能力.

10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

①函数的图象关于直线对称；

②函数的图象关于点对称；

③函数的图象在区间上单调递减；

④函数的图象在区间上单调递增.

A．①④ B．②③ C．①③ D．②（④

【答案】C

【解析】根据函数的平移，得到的解析式，从而得到其对称轴，对称中心，单调增区间，单调减区间，再进行判断，得到答案.

【详解】

由题意将函数的图象向左平移个单位长度，

得

，

令，

得到

所以对称轴为直线；

令，

得到，

所以对称中心为点，；

，

得，

所以函数在上单调递减；

，

得，

所以函数在上单调递增，

所以①③正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数的平移变换、正弦型函数图象的性质，属于简单题.

11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，准线交轴于，若最小，则（    ）

A．4 B．8 C． D．

【答案】D

【解析】不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，根据正弦的定义、抛物线定义，结合已知最小，根据正弦函数的单调性可以知道最小，也就是当与抛物线相切时，最小，设的直线方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程的判别式进行求解即可.

【详解】

据题意，不妨设点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为.由题意可得

.因为，所以，若最小，则最小，即最小，由题知当与抛物线相切时，最小.设直线的方程为，则.与联立，得消去得，由，得，所以，点坐标为，所以，此时四边形是正方形，轴，所以.

故选：D

【点睛】

本题考查了抛物线物定义，考查了利用直线与抛物线位置关系求参数，考查了数学运算能力.

12．已知函数对均有，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，将代入，这样求出的解析式，确定函数经过的定点，当函数的图象和的图象相切时，求出切点和斜率，最后求出实数的取值范围.

【详解】

根据题意，将代入，得.由得，函数的图象恒过点.设，当函数的图象和的图象相切时，设切点坐标为，由，得切线斜率，解得.此时，则要使，只需，解得，所以实数的取值范围是.

故选：B

【点睛】

本题考查了利用导数求曲线的切线的斜率，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.

二、填空题

13．已知，若，则___________.

【答案】

【解析】利用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】

由得，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.

14．若，则___________.

【答案】

【解析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式进行求解即可.

【详解】

因为，所以

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

15．函数的图象在处的切线被圆截得弦长的取值范围为，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】对函数进行求导，求出曲线在处的切线的方程，利用圆的垂径定理，结合点到直线的距离公式，求出弦长，根据弦长的取值范围，最后求了出实数的取值范围.

【详解】

.

由题可得函数在处的切线斜率.又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为.将圆

化为标准式为，则圆的圆心坐标为：

，半径为3，所以圆心到切线的距离.因为切线被圆

截得弦长的取值范围为，则，解得，所以，实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题考查了已知圆的弦长的取值范围求参数取值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.

16．已知数列的各项均为正数，，则_______；的前10项和_________.

【答案】    93   

【解析】对进行因式分解，最后得到，这样可以得到的奇数项和偶数项分别构成等比数列，最后利用分段函数形式写出数列的通项公式，最后求出的值即可.

【详解】

由得.因为数列的各项均为正数，所以，即.由得，当时，，所以，所以数列的奇数项是以1为首项､2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项､2为公比的等比数列.，令，得，所以当为奇数时，；，令，得，所以当为偶数时，.综上所述，所以.

故答案为：；93

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式，考查了因式分解的能力，考查了数学运算能力.

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，平面，，，.

（1）求证:平面平面；

（2）若三棱锥的体积为，求的长.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）过点作于点.由已知可以证明出四边形是等腰梯形，利用勾股定理的逆定理通过计算可以证明出，结合已知的线面垂直关系，可以得到，这样通过线面垂直的判定定理和面面垂直的判断定理证明即可；

（2）利用三棱锥的体积公式和三棱锥的体积性质进行求解即可.

【详解】

（1）证明：如图，过点作于点.因为，所以四边形是等腰梯形，可得，所以，所以.又因为平面平面，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.

（2）.因为三棱锥的体积为，所以解得.在中，，所以.

【点睛】

本题考查了利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，考查了三棱锥体积公式的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.

18．的内角的对边分别为，若.

（1）求角；

（2）若的周长为，求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）对等式进行去分母变形，结合余弦定理、特殊角的三角函数值进行求解即可；

（2）通过周长公式、完全平方和公式，结合（1）中的等式，利用三角形面积公式进行求解即可.

【详解】

（1）由得，在中，由余弦定理得

.又因为，所以.

（2）因为的周长为，所以，即，所以.又因为，所以，由(Ⅰ)知，所以的面积.

【点睛】

本题考查了余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，考查了数学运算能力.

19．每年9月第三周是国家网络安全宣传周.某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示:

（1）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低?说明理由；

（2）将成绩在内定义为“合格”；成绩在内定义为“不合格”.①请将下面的列联表补充完整； ②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关?说明你的理由；

（3）在（2）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.附:

.

【答案】（1）不低（或不太低），理由见解析（2）①列联表见解析②没有，理由见解析（3）

【解析】（1）通过频数分布表求出测试成绩的中位数，或者通过计算测试成绩的平均数，进行求解即可；

（2）①先通过频数分布表计算出的人数，然后根据表中的数据求出所要填的数据即可；

②计算进行求解即可；

（3）根据分层抽样的比例求出抽取合格的人数和不合格的人数，用列举法求出5人中随机抽取2人的基本事件，再写出抽取的2人恰好都合格的基本事件，最后利用古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

（1）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）.理由如下:根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为.则，解得，显然，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；

如下理由亦可:平均成绩

，

（或）显然，故该同学的测试成绩不低（或不太低）.

（2）①成绩在的人数为：，因此合格人格中女生人数为：，不合格中男生人数为：，

填表如下:

②，故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关.

（3）从50人随机抽取5人的比例为，从合格的40名学生中抽取(人)，记为；从不合格的10名学生中抽取(人)，记为，则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下:，共有10种情况，其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为，共有6种情况，故恰好2人都合格的概率.

【点睛】

本题考查了利用数据的中位数或平均数进行判断某生的学生成绩，考查了的计算，考查了古典概型计算公式.

20．已知椭圆，离心率为，直线恒过的一个焦点.

（1）求的标准方程；

（2）设为坐标原点，四边形的顶点均在上，交于，且，若直线的倾斜角的余弦值为，求直线与轴交点的坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）将转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.

（2）根据向量等式，可以确定分别是的中点.设，求出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出的坐标，同理求出点坐标，求出直线的方程，最后求出直线与轴交点的坐标.

【详解】

（1）设椭圆的半焦距为，可化为，所以直线恒过点，所以点，可得.因为离心率为，所以，解得，由得，所以的标准方程为.

（2）因为，所以.由得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为，得直线的斜率为2，所以，联立消去，得.显然，，且， ，所以，可得，同理可得，所以，所以.令，得，所以直线与轴交点的坐标为.

【点睛】

本题考查了求椭圆的标准方程，考查了根据直线与椭圆的位置关系求出点的坐标，考查了数学运算能力.

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，且，求证:.

【答案】（1）讨论见解析（2）证明见解析

【解析】（1）求出函数的定义域以及函数的导数，然后根据的正负性进行分类讨论，求出函数的单调区间；

（2）当时，求出函数的导数，可以确定的单调性，设，可以证明出，根据，可以证明出，根据同角的三角函数关系式可以得到，最后根据余弦函数的单调性进行证明即可.

【详解】

（1）的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递减；

当时，由解得，由解得，所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；

 （2）当时，，，则在上单调递增.设，且，则，即，所以，可得.因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，所以.综上可得，，且，即.

【点睛】

本题考查了利用导数求含参数函数的单调性，考查了利用导数证明不等式成立，考查了余弦函数的单调性应用，考查了同角三角函数关系式中的商关系，考查了数学运算能力.

22．在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到距离的最大值及该点坐标.

【答案】（1）的普通方程为；曲线C的直角坐标方程为（2）曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为

【解析】（1）先将直线的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将，代入，化简即可求解；（2）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解.

【详解】

解：（1）由（t为参数），得.

消去参数t，得的普通方程为；

将去分母得，

将代入，

得，

所以曲线C的直角坐标方程为.

（2）由（1）可设曲线C的参数方程为（为参数），

则曲线C上的点到的距离

，

当，即时，

，

此时，，

所以曲线C上的点到直线距离的最大值为，该点坐标为.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化，利用圆锥曲线的参数方程解决点到直线距离的问题，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.

23．设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的最大值为3，求的值.

【答案】（1）（2）a的值为或2

【解析】（1）利用零点分段法得到的分段形式，分别求，从而得到答案；

（2）分，两种情况讨论，求得关于a的最大值的代数式，结合题意即可求解a的值.

【详解】

解：（1）当时，

当时，，解得，所以；

当时，，解得，所以；

当时，，解得，所以；

综上，原不等式的解集为.

（2）当时，

所以，

解得；

当时，

所以，

解得，

所以a的值为或2.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，根据函数的最大值求参数的值，考查考生的运算求解能力、推理论证能力，属于中档题.